Неравенство Юнга

Неравенство Юнга (Янга) — соотношение для непрерывной строго возрастающей функции ${\displaystyle f}$, обращающейся в нуль в нуле: для любых ${\displaystyle a\geqslant 0}$ и ${\displaystyle b\geqslant 0}$ выполнено^[1]:

Графическая демонстрация неравенства — площадь прямоугольника со сторонами ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ не может быть больше суммы площадей фигур под графиками ${\displaystyle f}$ (красной) и ${\displaystyle f^{-1}}$ (жёлтой), ограниченных ${\displaystyle (0,a)}$ и ${\displaystyle (0,b)}$ соответственно

${\displaystyle ab\leqslant \int \limits _{0}^{a}f(x)dx+\int \limits _{0}^{b}f^{-1}(x)dx}$,

где ${\displaystyle f^{-1}}$ — функция, обратная ${\displaystyle f}$. Равенство достигается тогда и только тогда, когда ${\displaystyle b=f(a)}$.

Установлено в 1912 году Уильямом Янгом^[2].

Естественное следствие — ${\displaystyle ab\leqslant af(a)+bf^{-1}(b)}$ (в тех же условиях)^[3]. Неравенство Фенхеля может быть рассмотрено как обобщение этого следствия — результат распространяется на пару выпукло-сопряжённых функций ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle f^{*}}$ в соответствующих векторных пространствах ${\displaystyle a\in X}$ и ${\displaystyle b\in X^{*}}$ (двойственном пространстве): ${\displaystyle \left\langle a,b\right\rangle \leqslant f(a)+f^{*}(b)}$.

Также из этого следствия при ${\displaystyle f(x)=x^{p-1}}$, и, соответственно ${\displaystyle f^{-1}(y)=y^{q-1}}$, может быть получено числовое неравенство Юнга: если ${\displaystyle p,q>1}$ — сопряжённые показатели (то есть такие числа, что ${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1}$), то:

${\displaystyle ab\leqslant {\frac {a^{p}}{p}}+{\frac {b^{q}}{q}}}$;

равенство достигается при ${\displaystyle a^{p}=b^{q}}$. Этот результат весьма востребован в различных направлениях анализа, в частности, используется в доказательстве неравенства Гёльдера, применяется для оценки норм нелинейных членов дифференциальных уравнений в частных производных.

Функции:

${\displaystyle F(a)=\int \limits _{0}^{a}f(x)dx}$ и ${\displaystyle \Phi (b)=\int \limits _{0}^{b}f^{-1}(x)dx}$

в связи с неравенством называются двойственными по Юнгу^[4]. Если ${\displaystyle F_{1}}$ двойственна по Юнгу с ${\displaystyle \Phi _{1}}$, а ${\displaystyle F_{2}}$ — двойственна по Юнгу с ${\displaystyle \Phi _{2}}$, то из ${\displaystyle F_{1}(x)\leqslant F_{2}(x)}$ при достаточно больших ${\displaystyle x}$ следует, что ${\displaystyle \Phi _{1}(x)\geqslant \Phi _{2}(x)}$ при достаточно больших ${\displaystyle x}$^[5].