Loading AI tools
один из простейших фракталов, подмножество единичного отрезка вещественной прямой Из Википедии, свободной энциклопедии
Ка́нторово мно́жество (канторов дисконтинуум, канторова пыль) — один из простейших фракталов, подмножество единичного отрезка вещественной прямой, которое является классическим примером дисконтинуума в математическом анализе.
Описано в 1883 году Георгом Кантором. Этим он ответил на следующий вопрос Магнуса Миттаг-Леффлера заданный в письме от 21 июня 1882 года:[1]
Из единичного отрезка удалим среднюю треть, то есть интервал . Оставшееся точечное множество обозначим через . Множество состоит из двух отрезков; удалим теперь из каждого отрезка его среднюю треть, и оставшееся множество обозначим через . Повторив эту процедуру опять, удаляя средние трети у всех четырёх отрезков, получаем . Дальше таким же образом получаем последовательность замкнутых множеств . Пересечение
называется канторовым множеством.
Множества |
Канторово множество может быть также определено как множество чисел от нуля до единицы, которые можно представить в троичной записи с помощью только нулей и двоек (числа с единицей в n-м разряде вырезаются на n-м шаге построения). Число принадлежит канторовому множеству, если у него есть хотя бы одно такое представление, например , так как .
В такой записи легко увидеть континуальность канторова множества.
Канторово множество может быть определено как аттрактор. Рассмотрим все последовательности точек такие, что для любого
Тогда множество пределов всех таких последовательностей является канторовым множеством.
В литературе по общей топологии канторово множество определяется как счётная степень двухточечного дискретного пространства — [2]; такое пространство гомеоморфно классически построенному канторову множеству (с обычной евклидовой топологией)[3][4].
Канторов куб (обобщённый канторов дисконтинуум) веса — -я степень двухточечного дискретного пространства . Канторов куб универсален для всех нульмерных пространств веса не больше . Каждый хаусдорфов компакт веса не больше есть непрерывный образ подпространства канторова куба .
Диадический компакт[англ.] — компакт, представимый как непрерывный образ канторова куба. Диадическое пространство[англ.][5] — топологическое пространство, для которого существует компактификация, являющаяся диадическим компактом.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.