Рассмотрим некоторый класс
открытых подмножеств
, на котором определим неотрицательную функцию
и
![{\displaystyle \lambda (B,\;\varepsilon )=\inf \left\{\sum _{i=1}^{n}l(A_{i})\right\},}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09c6d875240d4f6b75101818eae2a3afb6241dfd)
где нижняя грань берётся по всем конечным или счётным покрытиям борелевского множества
множествами из
с диаметром, не превосходящим
, то есть
![{\displaystyle B\subset \bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\in {\mathcal {U}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f9e70f9e302b04b820209b9960a18bc48d8ee8d)
и
![{\displaystyle \mathrm {diam} \,A_{i}\leqslant \varepsilon ,\quad i=1,\;2,\;\ldots }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5704c28a81a52f776cb9813cf2e6b3e56c51d1ea)
Мерой Хаусдорфа
, определяемой классом
и функцией
, называется предел
![{\displaystyle \lambda (B)=\lim _{\varepsilon \to 0}\lambda (B,\;\varepsilon ).}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d69ab2366df4b6195d026a541995195626170bf6)
- Пусть
— совокупность всех шаров в
, a
, где
. Тогда соответствующая мера
будет называться
-мерой Хаусдорфа. При
такая мера будет называться линейной мерой Хаусдорфа, а при
— плоской мерой Хаусдорфа.
- Если
,
— совокупность цилиндров с шаровыми основаниями и осями, параллельными направлению оси
и
равна
-мерному объёму осевого сечения цилиндра
, то соответствующая мера Хаусдорфа называется цилиндрической мерой.