Кососимметрическая функция

Кососимметрическая (или знакопеременная) функция — функция от нескольких переменных, не меняющаяся при чётных перестановках аргументов и меняющая знак при нечётных перестановках.

Например, следующие функции являются кососимметрическими, так как они меняют значения на противоположные при замене ${\displaystyle x}$ на ${\displaystyle y}$ и наоборот: ${\displaystyle y-x,}$ ${\displaystyle y^{3}-x^{3},}$ и т. п. Если ${\displaystyle f(x,y)}$ есть симметрическая функция переменных ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$, то

${\displaystyle \varphi (x,y)=(y-x)f(x,y)}$

будет уже кососимметрической функцией.

Общее выражение для кососимметрической функции трёх переменных будет

${\displaystyle \phi (x,y,z)=(y-x)(z-y)(x-z)f(x,y,z)}$

где ${\displaystyle f(x,y,z)}$ представляет симметрическую функцию переменных ${\displaystyle x,y,z}$. Кососимметрическая функция используется в алгебре при решении уравнений первой степени со многими неизвестными; определитель матрицы есть кососимметрическая функция её строк.