Симметрическая функция

Симметрическая функция от n переменных — это функция, значение которой на любом n-кортеже аргументов то же самое, что и значение на любой перестановке этого n-кортежа^[1]. Если, например, ${\displaystyle f(\mathbf {x} )=f(x_{1},x_{2},x_{3})}$, функция может быть симметрической на всех переменных или парах ${\displaystyle (x_{1},x_{2})}$, ${\displaystyle (x_{2},x_{3})}$ или ${\displaystyle (x_{1},x_{3})}$. Хотя это может относиться к любым функциям, для которых n аргументов имеют одну и ту же область определения, чаще всего имеются в виду многочлены, которые в этом случае являются симметрическими многочленами. Вне многочленов теория симметрических функций бедна и мало используется. Также обычно не важно точное число переменных, считается что их просто достаточно много. Чтобы сделать эту идею более строгой, с помощью проективного предела осуществляется переход к так называемому кольцу симметрических функций ${\displaystyle \Lambda }$, формально содержащему бесконечное число переменных.

Симметризация

Основная статья: Симметризация

Если задана какая-либо функция f от n переменных со значениями в абелевой группе (то есть в группе с коммутативной операцией), симметрическая функция может быть построена путём суммирования значений f по всем перестановкам аргументов. Аналогично, антисимметрическая функция может быть построена как сумма по всем чётным перестановкам, из которой вычитается сумма по всем нечётным перестановкам. Эти операции, конечно, необратимы и могут привести к тождественно равной нулю функции для нетривиальной функции f. Единственный случай, когда f может быть восстановлена, когда известны симметризация функции и антисимметризация, это когда n = 2 и абелева группа допускает деление на 2 (операция, обратная удвоению). В этом случае f равна половине суммы симметризации и антисимметризации.

Кольцо симметрических функций

Рассмотрим действие симметрической группы ${\displaystyle S_{n}}$ на ${\displaystyle \mathbb {Z} [x_{1},\dots ,x_{n}]}$ — кольцо многочленов от n переменных. Она действует перестановкой переменных. Как было сказано выше, симметрические многочлены в точности те, что не меняются под действием элементов этой группы. Таким образом, они образуют подкольцо:

${\displaystyle \Lambda _{n}=\mathbb {Z} [x_{1},\dots ,x_{n}]^{S_{n}}}$

В свою очередь, ${\displaystyle \Lambda _{n}}$ является градуированным кольцом:

${\displaystyle \Lambda _{n}=\bigoplus _{k\geq 0}\Lambda _{n}^{k}}$, где ${\displaystyle \Lambda _{n}^{k}}$ состоит из однородных симметрических многочленов степени k, а также нулевого многочлена.

Далее с помощью проективного предела определяется кольцо симметрических функций степени k:

${\displaystyle \Lambda ^{k}=\varprojlim _{n}\Lambda _{n}^{k}}$

Наконец, получаем градуированное кольцо ${\displaystyle \Lambda =\bigoplus _{k\geq 0}\Lambda ^{k}}$, которое и называется кольцом симметрических функций.

Замечания.

• ${\displaystyle \Lambda }$ не является проективным пределом ${\displaystyle \Lambda _{k}}$ (в категории колец). Например, бесконечное произведение ${\displaystyle \prod _{j=1}^{\infty }(1+x_{j})}$ не содержится в ${\displaystyle \Lambda }$, т.к. содержит мономы сколь угодно большой степени.
• "Определитель" ${\displaystyle (\prod _{i<j}(x_{i}-x_{j}))^{2}}$ также не имеет аналога в ${\displaystyle \Lambda }$.

Базисы в пространстве симметрических функций

• Мономиальный базис. Для каждого разбиения ${\displaystyle \lambda =(\lambda _{1},\lambda _{2},\dots )}$ определим моном ${\displaystyle x^{\lambda }=x_{1}^{\lambda _{1}}x_{2}^{\lambda _{2}}\dots }$ Он не является симметрическим многочленом, а также содержит лишь конечное число переменных, входящих в него с ненулевой степенью. Теперь просуммируем множество мономов ${\displaystyle x_{\alpha }^{\lambda }}$, получаемых из него всевозможными перестановками индексов ${\displaystyle \alpha }$ (каждый моном суммируется лишь один раз, даже если его можно получить с помощью нескольких различных перестановок): ${\displaystyle m_{\lambda }=\sum _{\alpha }x_{\alpha }^{\lambda }}$. Легко понять, что ${\displaystyle m_{\lambda }}$ такие, что ${\displaystyle |\lambda |=n}$ образуют базис ${\displaystyle \Lambda ^{n}}$, а значит все ${\displaystyle m_{\lambda }}$ образуют базис ${\displaystyle \Lambda }$, который называется мономиальным.

• Элементарные симметрические функции. Для каждого целого ${\displaystyle r\geq 0}$ определим ${\displaystyle e_{r}}$ — сумму всех возможных произведений из r различных переменных. Таким образом, ${\displaystyle e_{0}=1}$, при ${\displaystyle r\geq 1}$:

${\displaystyle e_{r}=\sum _{i_{1}<i_{2}<\dots <i_{r}}x_{i_{1}}x_{i_{2}}\dots x_{i_{r}}=m_{(1^{r})}}$

Для каждого разбиения ${\displaystyle \lambda }$ элементарная симметрическая функция это ${\displaystyle e_{\lambda }=e_{\lambda _{1}}e_{\lambda _{2}}\dots }$ Они образуют базис в пространстве ${\displaystyle \Lambda }$.

• Полные симметрические функции. Для каждого целого ${\displaystyle r\geq 0}$ определим ${\displaystyle h_{r}}$ — сумму всех мономиальных функций степени r. Таким образом, ${\displaystyle h_{0}=1}$, при ${\displaystyle r\geq 1}$:

${\displaystyle h_{r}=\sum _{|\lambda |=r}m_{\lambda }}$

Далее, как и случае элементарных функций, положим ${\displaystyle h_{\lambda }=h_{\lambda _{1}}h_{\lambda _{2}}\dots }$

• Степенные суммы. Для каждого ${\displaystyle r\geq 1}$ степенной суммой называется ${\displaystyle p_{r}=\sum _{i\geq 1}^{\infty }x_{i}^{r}=m_{(r)}}$.

Для разбиения ${\displaystyle \lambda }$ степенная сумма определяется как ${\displaystyle p_{\lambda }=p_{\lambda _{1}}p_{\lambda _{2}}\dots }$

Тождества.

• ${\displaystyle \sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}e_{i}h_{k-i}=0=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}h_{i}e_{k-i}}$, для всех k > 0,
• ${\displaystyle ke_{k}=\sum _{i=1}^{k}(-1)^{i-1}p_{i}e_{k-i}}$, для всех k > 0,
• ${\displaystyle kh_{k}=\sum _{i=1}^{k}p_{i}h_{k-i}}$, для всех k > 0.

Соотношения для производящих функций.

Легко показать, что ${\displaystyle E(t)=\sum _{r\geq 0}e_{r}t^{r}=\prod _{i\geq 1}(1+x_{i}t)}$

Также ${\displaystyle H(t)=\sum _{r\geq 0}h_{r}t^{r}=\prod _{i\geq 1}(1-x_{i}t)^{-1}}$

Отсюда следует соотношение ${\displaystyle H(t)E(-t)=1}$

Наконец, ${\displaystyle P(t)=\sum _{r\geq 1}p_{r}t^{r-1}=\sum _{i\geq 1}\sum _{r\geq 1}x_{i}^{r}t^{r-1}=\sum _{i\geq 1}{\frac {x_{i}}{1-x_{i}t}}=\sum _{i\geq 1}{\frac {d}{dt}}ln{\frac {1}{1-x_{i}t}}={\frac {d}{dt}}ln\prod _{i\geq 1}(1-x_{i}t)^{-1}={\frac {d}{dt}}lnH(t)={\frac {H'(t)}{H(t)}}}$.

Аналогично получаем ${\displaystyle P(-t)={\frac {d}{dt}}lnE(t)={\frac {E'(t)}{E(t)}}}$.

• Функции Шура. Пусть имеется конечное число переменных ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$ и дано разбиение ${\displaystyle \lambda }$ такое, что ${\displaystyle l(\lambda )\leq n}$ (длина разбиения не превосходит число переменных). Тогда многочленом Шура разбиения ${\displaystyle \lambda }$ от n переменных называется ${\displaystyle s_{\lambda }(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})={\frac {det(x_{i}^{\lambda _{j}+n-j})_{1\leq i,j\leq n}}{det(x_{i}^{n-j})_{1\leq i,j\leq n}}}}$ — однородный симметрический многочлен степени ${\displaystyle |\lambda |}$. При ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$ эти многочлены сходятся к единственному элементу ${\displaystyle s_{\lambda }\in \Lambda }$, называемому функцией Шура разбиения ${\displaystyle \lambda }$.

• Функции Джека. При введении особого скалярного произведения на ${\displaystyle \Lambda }$ являются обобщением функций Шура, сохраняя многие из их свойств.

Приложения

U-статистика

Основная статья: U-статистика

В статистике статистика на n-выборке (функция от n переменных), полученная путём бутстрэпа симметризации статистики на выборке из k элементов, даёт симметрическую функцию от n переменных, называемую U-статистикой^[англ.]. Примеры включают выборочное среднее и выборочную дисперсию.

См. также

• Элементарные симметричные многочлены^[англ.]
• Квазисимметричная функция^[англ.]
• Кольцо симметричных функций^[англ.]

Примечания

1. Ван дер Варден, 1979, с. 121.

Литература

• Macdonald I. G. Symmetric Functions and Orthogonal Polynomials. New Brunswick, New Jersey. University Lecture Series, 12. American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, 1998. xvi+53 pp. ISBN 0-8218-0770-6 MR: 1488699
• Macdonald I. G. Symmetric Functions and Hall Polynomials. Second edition. Oxford Mathematical Monographs. Oxford Science Publications. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1995. x+475 pp. ISBN 0-19-853489-2 1st edition (неопр.). — 1979.
• Макдональд И. Симметрические функции и многочлены Холла. — Мир, 1984. — 224 с.
• David F. N., Kendall M. G., Barton D. E. Symmetric Function and Allied Tables. — Cambridge University Press, 1966.
• Joseph P. S. Kung, Gian-Carlo Rota, Catherine H. Yan. Combinatorics: The Rota Way. — Cambridge University Press, 2009. — xii+396 с. — ISBN 978-0-521-73794-4.
  — §5.1 Symmetric functions, p. 222–225.
  — §5.7. Symmetric Functions Over Finite Fields, p. 259–270.
• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — М.: «Наука», 1979.
  — §33. Симметрические функции, с. 121.