Кинематика твёрдого тела

Кинема́тика твёрдого тела (от др.-греч. κίνημα — движение) — раздел кинематики, изучающий движение абсолютно твёрдого тела (системы материальных точек с неизменными расстояниями), не вдаваясь в вызывающие его причины. В силу относительности движения, обязательно указание системы отсчёта, относительно которой описывается движение.

Описание движения

Особенность твёрдого тела позволяет ввести связанную с ним ортонормированную систему координат ${\displaystyle ({\vec {e}}_{\xi },{\vec {e}}_{\eta },{\vec {e}}_{\zeta })}$ с центром в точке ${\displaystyle S}$ (произвольной точке, связанной с этим телом). Тогда в абсолютной ортонормированной системе ${\displaystyle Oxyz,\,({\vec {e}}_{x},{\vec {e}}_{y},{\vec {e}}_{z})}$, координату произвольной точки твёрдого тела можно выразить:

${\displaystyle {\vec {r}}(t)={\vec {r}}_{S}(t)+\xi {\vec {e}}_{\xi }(t)+\eta {\vec {e}}_{\eta }(t)+\zeta {\vec {e}}_{\zeta }(t)}$, причём т.к. тело абсолютно твёрдое: ${\displaystyle {\dot {\xi }}={\dot {\eta }}={\dot {\zeta }}=0}$, но ${\displaystyle {\dot {\vec {e}}}_{i}\neq 0\,(i=\xi ,\eta ,\zeta )}$.

Пусть ${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\vec {e}}_{\xi }\\{\vec {e}}_{\eta }\\{\vec {e}}_{\zeta }\end{pmatrix}}={\hat {A}}{\begin{pmatrix}{\vec {e}}_{x}\\{\vec {e}}_{y}\\{\vec {e}}_{z}\end{pmatrix}}}$. В частности, преобразование можно задать с помощью углов Эйлера.

Так как базисы ортонормированы, ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ортогональна, вследствие чего ${\displaystyle {\hat {A}}{\hat {A}}^{T}=E}$.

Скорость произвольной точки тела тогда:

${\displaystyle {\vec {v}}(t)={\vec {v}}_{S}(t)+(\xi ,\eta ,\zeta ){\begin{pmatrix}{\dot {\vec {e}}}_{\xi }\\{\dot {\vec {e}}}_{\eta }\\{\dot {\vec {e}}}_{\zeta }\end{pmatrix}}={\vec {v}}_{S}(t)+(\xi ,\eta ,\zeta ){\dot {\hat {A}}}{\begin{pmatrix}{\vec {e}}_{x}\\{\vec {e}}_{y}\\{\vec {e}}_{z}\end{pmatrix}}={\vec {v}}_{S}(t)+(\xi ,\eta ,\zeta ){\dot {\hat {A}}}{\hat {A}}^{T}{\begin{pmatrix}{\vec {e}}_{\xi }\\{\vec {e}}_{\eta }\\{\vec {e}}_{\zeta }\end{pmatrix}}}$

Дифференцирование ${\displaystyle {\hat {A}}{\hat {A}}^{T}=E}$ приводит ${\displaystyle {\dot {\hat {A}}}{\hat {A}}^{T}=-{\hat {A}}{\dot {\hat {A}}}^{T}}$, что означает антисимметричность ${\displaystyle {\dot {\hat {A}}}{\hat {A}}^{T}={\hat {\Omega }}}$, которую можно записать

${\displaystyle {\hat {\Omega }}={\begin{pmatrix}0&\omega _{\zeta }&-\omega _{\eta }\\-\omega _{\zeta }&0&\omega _{\xi }\\\omega _{\eta }&-\omega _{\xi }&0\end{pmatrix}}}$

Обозначения мотивированы введением ${\displaystyle {\vec {\omega }}=\omega _{\xi }{\vec {e}}_{\xi }+\omega _{\eta }{\vec {e}}_{\eta }+\omega _{\zeta }{\vec {e}}_{\zeta }}$ (вектора угловой скорости). Тогда:

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {\vec {e}}}_{\xi }=\omega _{\zeta }{\vec {e}}_{\eta }-\omega _{\eta }{\vec {e}}_{\zeta }=[{\vec {\omega }}\times {\vec {e}}_{\xi }],\\{\dot {\vec {e}}}_{\eta }=-\omega _{\zeta }{\vec {e}}_{\xi }+\omega _{\xi }{\vec {e}}_{\zeta }=[{\vec {\omega }}\times {\vec {e}}_{\eta }],\\{\dot {\vec {e}}}_{\zeta }=\omega _{\eta }{\vec {e}}_{\xi }-\omega _{\xi }{\vec {e}}_{\eta }=[{\vec {\omega }}\times {\vec {e}}_{\zeta }];\end{cases}}}$

Полученные выражения иначе называют формулами Пуассона.

Формула Эйлера

Формула Эйлера фиксирует связь между скоростями различных точек ${\displaystyle A,B}$ твёрдого тела:

${\displaystyle {\vec {v}}_{B}={\vec {v}}_{A}+[{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {AB}}]}$

Доказательство

${\displaystyle {\begin{cases}{\vec {v}}_{A}={\vec {v}}_{S}+(\xi _{A},\eta _{A},\zeta _{A})\Omega {\begin{pmatrix}{\vec {e}}_{\xi }\\{\vec {e}}_{\eta }\\{\vec {e}}_{\zeta }\end{pmatrix}},\\{\vec {v}}_{B}={\vec {v}}_{S}+(\xi _{B},\eta _{B},\zeta _{B})\Omega {\begin{pmatrix}{\vec {e}}_{\xi }\\{\vec {e}}_{\eta }\\{\vec {e}}_{\zeta }\end{pmatrix}};\\\end{cases}}\;\Rightarrow \;{\vec {v}}_{B}-{\vec {v}}_{A}=(\xi _{B}-\xi _{A},\eta _{B}-\eta _{A},\zeta _{B}-\zeta _{A})\Omega {\begin{pmatrix}{\vec {e}}_{\xi }\\{\vec {e}}_{\eta }\\{\vec {e}}_{\zeta }\end{pmatrix}}\;\Leftrightarrow \;{\vec {v}}_{B}={\vec {v}}_{A}+[{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {AB}}]}$

• Если ${\displaystyle {\vec {v}}_{A}={\vec {v}}_{B}}$, то ${\displaystyle {\vec {\omega }}\parallel {\overrightarrow {AB}}}$.
• ${\displaystyle {\vec {\omega }}}$ инвариантен по отношению к выбору подвижной системы координат.
• Вектор угловой скорости связан с полем скоростей точек тела ${\displaystyle {\vec {\omega }}={\frac {1}{2}}\nabla \times {\vec {v}}}$.

Формула Ривальса

Формула Ривальса связывает ускорения различных точек ${\displaystyle A,B}$ твёрдого тела.

Для ${\displaystyle {\vec {\varepsilon }}={\dot {\vec {\omega }}}}$ (вектора углового ускорения), с учётом того, что ${\displaystyle {\dot {\overrightarrow {AB}}}=[{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {AB}}]}$, дифференцирование формулы Эйлера приводит к:

${\displaystyle {\vec {a}}_{B}={\vec {a}}_{A}+[{\vec {\varepsilon }}\times {\overrightarrow {AB}}]+{\big [}{\vec {\omega }}\times [{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {AB}}]{\big ]}}$

Последний член в формуле Ривальса определяет осестремительное ускорение.

Сложное движение

Для случаев затруднительного описания движения твёрдого тела относительно неподвижной СО, вводятся формулы сложного движения (т.е. описывающие движение относительно подвижной СО).

Для абсолютной системы отсчёта ${\displaystyle Oxyz,({\vec {e}}_{x},{\vec {e}}_{y},{\vec {e}}_{z})}$ и подвижной ${\displaystyle P\xi \eta \zeta \,({\vec {e}}_{\xi },{\vec {e}}_{\eta },{\vec {e}}_{\zeta })}$.

${\displaystyle {\vec {r}}_{S/O}={\vec {r}}_{S/P}+{\vec {r}}_{P/O}}$

Радиус-вектор к точке ${\displaystyle S}$ в абсолютной СО равен сумме относительного радиус-вектора и переносного

Формула сложения скоростей

Дифференцирование по времени формулы для радиус-вектора приводит к формуле сложения скоростей

${\displaystyle {\vec {v}}_{S/O}={\vec {v}}_{P/O}+{\vec {v}}_{S/P}+[{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {PS}}]}$, где ${\displaystyle {\vec {\omega }}}$ — угловая скорость вращения подвижной СО.

• ${\displaystyle {\vec {v}}_{S/O}}$ — абсолютная скорость точки ${\displaystyle S}$,
• ${\displaystyle {\vec {v}}_{S/P}={\dot {\xi }}{\vec {e}}_{\xi }+{\dot {\eta }}{\vec {e}}_{\eta }+{\dot {\zeta }}{\vec {e}}_{\zeta }}$ — относительная скорость,
• Слагаемое же ${\displaystyle {\vec {v}}_{P/O}+[{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {PS}}]}$ называют переносной скоростью, которая связана с изменением положения подвижной СО.

Формула сложения ускорений

Повторное дифференцирование даёт

${\displaystyle {\vec {a}}_{S/O}={\vec {a}}_{P/O}+{\vec {a}}_{S/P}+[{\vec {\varepsilon }}\times {\overrightarrow {PS}}]+{\big [}{\vec {\omega }}\times [{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {PS}}]{\big ]}+2[{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}_{S/P}]}$, где ${\displaystyle {\vec {\varepsilon }}}$ — угловое ускорение подвижной СО.

• ${\displaystyle {\vec {a}}_{S/O}}$ — абсолютное ускорение,
• ${\displaystyle {\vec {a}}_{P/O}={\ddot {\xi }}{\vec {e}}_{\xi }+{\ddot {\eta }}{\vec {e}}_{\eta }+{\ddot {\zeta }}{\vec {e}}_{\zeta }}$ — относительное ускорение,
• ${\displaystyle {\vec {a}}_{S/P}+[{\vec {\varepsilon }}\times {\overrightarrow {PS}}]+{\big [}{\vec {\omega }}\times [{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {PS}}]{\big ]}}$ — переносное ускорение,
• ${\displaystyle 2[{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}_{S/P}]}$ — кориолисово ускорение.

Сложение угловых скоростей

Запись формулы Эйлера в подвижной СО, вращающейся с угловой скоростью ${\displaystyle {\vec {\omega }}_{P/O}}$ (само тело здесь вращается с ${\displaystyle {\vec {\omega }}_{S/P}}$) приводит к:

${\displaystyle {\vec {v}}_{B/O}={\vec {v}}_{A/O}+[{\vec {\omega }}_{S/P}\times {\overrightarrow {AB}}]+[{\vec {\omega }}_{P/O}\times {\overrightarrow {AB}}]}$, что верно для произвольного выбора точек ${\displaystyle A,B}$, откуда

${\displaystyle {\vec {\omega }}_{S/O}={\vec {\omega }}_{P/O}+{\vec {\omega }}_{S/P}}$

Иначе, абсолютная угловая скорость равна сумме относительной и переносной.

Качественный анализ возможных движений

• Мгновенно-винтовое движение, характеризуемое тем, что найдётся ${\displaystyle l\parallel {\vec {\omega }}}$ (мгновенно-винтовая ось), такая что для всякой точки ${\displaystyle S\in l:{\vec {v}}_{S}\parallel l}$. В каждый момент времени всякое движение можно представить мгновенно-винтовым.
• Мгновенно-поступательное движение характеризуется тем, что ${\displaystyle {\vec {\omega }}=0}$, в таком случае скорости всех точек тела одинаковы (в данное мгновение).
• Мгновенно-вращательное движение, частный случай мгновенно-винтового, т.е. найдётся ${\displaystyle l}$ такая что все точки на ней неподвижны. Прямая ${\displaystyle l}$ в таком случае — мгновенная ось вращения.
• Плоско-параллельное движение осуществляется, если каждая точка тела движется параллельно неподвижной плоскости (пусть ${\displaystyle Oxy}$), тогда ${\displaystyle {\vec {\omega }}\perp Oxy}$. По аналогии с мгновенно-винтовой осью, для плоско-параллельного движения можно выбрать мгновенный центр скоростей — мгновенно-неподвижную точку ${\displaystyle C}$. Положение ${\displaystyle C}$ меняется как в неподвижной, так и в подвижной (связанной с телом) системах координат. Для геометрического места точек мгновенного центра скоростей в неподвижной СО употребляют термин неподвижная центроида, тогда как в подвижной СО, соответственно, подвижная центроида.
• Вращение вокруг неподвижной точки. По формуле Эйлера, если ${\displaystyle O}$ неподвижна, то неподвижна и ${\displaystyle l=O\omega }$ (мгновенная ось вращения). Геометрическое место осей вращения называют неподвижной и подвижной аксоидами (в зависимости от рассматриваемой СО)

Кинематические формулы Эйлера

В случае, если переход к подвижной СО выполнен с помощью углов Эйлера, справедливы следующие формулы для компонент угловой скорости:

${\displaystyle \omega _{\xi }={\dot {\varphi }}\sin \theta \sin \psi +{\dot {\theta }}\cos \psi }$

${\displaystyle \omega _{\eta }={\dot {\varphi }}\sin \theta \cos \psi -{\dot {\theta }}\sin \psi }$

${\displaystyle \omega _{\zeta }={\dot {\psi }}+{\dot {\varphi }}\cos \theta }$

${\displaystyle \psi }$ — угол прецессии, ${\displaystyle \theta }$ — угол нутации, ${\displaystyle \varphi }$ — угол собственного вращения.

См. также

• Кинематика сплошной среды
• Механика твёрдого тела
• Кинематика точки

Литература

• Теоретическая механика/Болотин С.В., Карапетян А.В., Кугушев Е.И., Трещев Д.В. — М., 2010.
• Общий курс физики Т.I. Механика/Сивухин Д.В. — М., 1979. — $7, с. 45-47