Известные распределения случайных величин

На данной странице представлены основные сведения об известных типовых распределениях случайных величин, которые не были рассмотрены на странице Распределение вероятностей

Дискретные распределения случайных величин

Название	Плотность (последовательность вероятностей)	Параметр
Бореля-Таннера[1];[2][3]	${\displaystyle \mathrm {P} (\{x\})={\frac {k}{(x-k)!}}x^{x-k-1}e^{-\alpha x}\alpha ^{x-k},x=k,k+1,k+2,...}$	α — форма; k — мин. значение
Вырожденное[1]	${\displaystyle \mathrm {P} (\{\alpha \})=1}$	α — значение величины
Гипергеометрическое[1][4][5][6];[7][8][9][10][11][12]	${\displaystyle \mathrm {P} (\{x\})={\frac {C_{M}^{x}C_{N-M}^{n-x}}{C_{N}^{n}}},x=max\{0,n-M\},1,2,...,min\{M,n\}}$	N — объём ген. совокупности, M — количество отмеченных элементов, n — объём выборки
Логарифмическое[1][7];[11]	${\displaystyle \mathrm {P} (\{x\})={\frac {-q^{x}}{x\ln(1-q)}},x=1,2,3,...}$	q — вероятность события
Отрицательное биномиальное (Паскаля)[1];[6][8][10][11][13][14][15][16]	${\displaystyle \mathrm {P} (\{x\})=C_{r+x-1}^{x}p^{r}(1-p)^{x},x=0,1,2,...}$	r — количество успехов; p — вероятность успеха
Отрицательное гипергеометрическое[1][17]	${\displaystyle \mathrm {P} (\{x\})={\frac {C_{x+m-1}^{x}C_{N-m-x}^{M-m}}{C_{N}^{M}}},x=0,1,2,...,(N-M)}$	N — объём ген. совокупности, M — число отмеченных элементов, m — требуемое число отмеченных элементов
Пойа[1][18]	${\displaystyle \mathrm {P} (\{x\})={\frac {C_{(b/c)+x-1}^{x}C_{(r/c)+n-x-1}^{n-x}}{C_{((b+r)/c)+n-1}^{n}}},x=0,1,2,...,n}$	b — количество «черных», r — «красных», n — извлекаемых шаров, c — возвращаемых вместе с выбранным того же цвета

Непрерывные распределения случайных величин

Название	Функция плотности распределения	Параметры
α (альфа)[19];[20]	${\displaystyle \mathrm {\begin{cases}{\frac {c\beta }{t^{2}{\sqrt {2\pi }}}}\exp \left(-{\frac {(\alpha t-\beta )^{2}}{2t^{2}}}\right),&x>0,\\0,&x\leq 0,\end{cases}} \,\,c=\left({\frac {1}{2}}+\Phi (\alpha )\right)^{-1}}$	α — форма, β — масштаб
χ (хи)[1][11]	${\displaystyle \mathrm {\begin{cases}{\frac {x^{n-1}}{2^{n/2-1}\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{2}}\right),&x>0,\\0,&x\leq 0\end{cases}} }$	n — число степеней свободы
L-распределение Сосновского[21]	${\displaystyle \mathrm {\begin{cases}{\frac {\eta \gamma \left(1-(1-x)^{\eta }\right)^{\gamma -1}}{(1-x)^{1-\eta }}},&x\in [0,1],\\0,&x\not \in [0,1]\end{cases}} }$	η, γ -форма
T2-Хотеллинга[1]	${\displaystyle \mathrm {\begin{cases}{\frac {\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)\,\,x^{k/2-1}\,\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{-{\frac {n+1}{2}}}}{\Gamma \left({\frac {n-k}{2}}\right)\,\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)\,n^{k/2}}},&x>0,\\0,&x\leq 0\end{cases}} }$	n, k — число степеней свободы
Z-Фишера[1];[7][22]	${\displaystyle \mathrm {\frac {2m_{1}^{m_{1}/2}m_{2}^{m_{2}/2}\Gamma \left({\frac {m_{1}+m_{2}}{2}}\right)e^{-m_{1}x}}{\Gamma \left({\frac {m_{1}}{2}}\right)\Gamma \left({\frac {m_{2}}{2}}\right)\left(m_{1}e^{2x}+m_{2}\right)^{\frac {m_{1}+m_{2}}{2}}}} }$	m1, m2 — степени свободы
Арксинуса обобщенное[1]	${\displaystyle \mathrm {\begin{cases}{\frac {\sin(\pi \alpha )}{\pi }}x^{-\alpha }(1-x)^{\alpha -1},&x\in (0,1),\\0,&x\not \in (0,1)\end{cases}} }$	α — форма
Берра[1]	${\displaystyle \mathrm {\begin{cases}{\frac {\alpha \beta \,x^{\alpha -1}\,}{\left(1+x^{\alpha }\right)^{\beta +1}}},&x>0,\\0,&x\leq 0\end{cases}} }$	α — форма, β — масштаб
Бирнбаума-Саундерса[12]	${\displaystyle \mathrm {\begin{cases}{\frac {{\sqrt {\frac {x}{\theta }}}+{\sqrt {\frac {\theta }{x}}}}{2\beta x{\sqrt {2\pi }}}}\exp \left(-{\frac {\left({\sqrt {\frac {x}{\theta }}}-{\sqrt {\frac {\theta }{x}}}\right)^{2}}{2\beta ^{2}}}\right),&x>0,\\0,&x\leq 0\end{cases}} }$	β — форма; θ — масштаб
Вальда (инверсное Гаусса)[10];[6]	${\displaystyle \mathrm {\begin{cases}{\sqrt {\frac {\lambda }{2\pi x^{3}}}}\,\exp \left(-{\frac {\lambda \left(x-\mu \right)^{2}}{2\mu ^{2}x}}\right),&x\geq 0,\\0,&x<0\end{cases}} }$	μ — масштаб; λ — форма
Вон Мизеса[10]	${\displaystyle \mathrm {\begin{cases}{\frac {\exp \left(b\cos(x-a)\right)}{2\pi BesselI(0,b)}},&x\in [0,2\pi ],\\0,&x\not \in [0,2\pi ]\end{cases}} }$	a — мода, b — форма
Гиперэкспоненциальное[2]	${\displaystyle \mathrm {\begin{cases}\sum _{k=1}^{m}\alpha _{k}\lambda _{k}\,exp\left(-\lambda _{k}x\right),&x\geq 0,\\0,&x<0\end{cases}} }$	αi - форма; λi - масштаб
Гумбеля макс. (экстремальных, максимальных значений, тип I)[12];[6][10][21][23][24]	${\displaystyle \mathrm {\frac {1}{\beta }} \exp \left(-{\frac {x-\alpha }{\beta }}-\exp \left(-{\frac {x-\alpha }{\beta }}\right)\right)}$	α — мода; β — масштаб
Гумбеля мин. (экстремальных, минимальных значений, тип I)[1][12];[13][21][23][24]	${\displaystyle \mathrm {\frac {1}{\beta }} \exp \left({\frac {x-\alpha }{\beta }}-\exp \left({\frac {x-\alpha }{\beta }}\right)\right)}$	α — мода; β — масштаб
Двойное экспоненциальное (экстремальных значений, тип I)[4]	${\displaystyle \mathrm {\alpha } \beta \,\exp \left(-\alpha x-\beta \,\exp \left(-\alpha x\right)\right)}$	α — масштаб; β — форма
Джонсона несвязанное[14]	${\displaystyle \mathrm {\frac {exp\left(-{\frac {1}{2}}\left[\alpha _{1}+\alpha _{2}\ln \left({\frac {x-\gamma }{\beta }}+{\sqrt {\left({\frac {x-\gamma }{\beta }}\right)^{2}+1}}\right)\right]^{2}\right)}{\alpha _{2}^{-1}{\sqrt {(x-\gamma )^{2}+\beta ^{2}}}{\sqrt {2\pi }}}} }$	α1 , α2 — форма; γ — положение; b — масштаб
Джонсона связанное[14]	${\displaystyle \mathrm {\begin{cases}{\frac {\exp \left(-{\frac {1}{2}}\left(\alpha _{1}+\alpha _{2}\ln \left({\frac {x-a}{b-x}}\right)\right)^{2}\right)}{\alpha _{2}^{-1}(b-a)^{-1}(x-a)(b-x){\sqrt {2\pi }}}},&x\in [a,b],\\0,&x\not \in [a,b]\end{cases}} }$	α1 , α2 — форма; a — положение; (b — a) — масштаб
Инверсное Вейбулла[25]	${\displaystyle \mathrm {\begin{cases}{\frac {\alpha ^{-\beta }\beta }{(x-\lambda )^{\beta +1}}}\,\exp \left(-\left(\alpha (x-\lambda )\right)^{-\beta }\right),&x\geq \lambda ,\\0,&x<\lambda \end{cases}} }$	α — форма; β — масштаб; λ — сдвиг
Лог-логистическое (1)[12]	${\displaystyle \mathrm {\begin{cases}{\frac {\exp(z)}{\beta x(1+z)^{2}}},&x>0,\\0,&x\leq 0,\end{cases}} z={\frac {\ln(x)-\lambda }{\beta }}}$	β — форма; λ — масштаб
Лог-логистическое (2)[14]	${\displaystyle \mathrm {\begin{cases}{\frac {\alpha x^{\alpha -1}}{\beta ^{\alpha }}}\left(1+\left({\frac {x}{\beta }}\right)^{\alpha }\right)^{-2},&x>0,\\0,&x\leq 0\end{cases}} }$	α — форма; β — масштаб
Максвелла[1];[10][12]	${\displaystyle \mathrm {\begin{cases}{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}{\frac {x^{2}}{\sigma ^{3}}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right),&x>0,\\0,&x\leq 0\end{cases}} }$	σ — масштаб
Мойяла[10]	${\displaystyle \mathrm {\frac {exp\left(-{\frac {x-\mu }{2\sigma }}-{\frac {1}{2}}exp\left(-{\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)\right)}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}} }$	μ — положение; σ — масштаб
Нормальное сложенное[12]	${\displaystyle \mathrm {\begin{cases}{\frac {\sqrt {2}}{\sigma {\sqrt {\pi }}}}\,\cosh \left({\frac {\mu x}{\sigma ^{2}}}\right)\exp \left(-{\frac {x^{2}+\mu ^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right),&x\geq 0,\\0,&x<0\end{cases}} }$	μ - сдвиг, σ - масштаб
Нормальное, усеченное слева[8][21][26][27][28]	${\displaystyle \mathrm {\begin{cases}{\frac {c}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left(-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right),&x>x_{0},\\0,&x\leq x_{0},\end{cases}} \,\,c=\left({\frac {1}{2}}-\Phi \left({\frac {x_{0}-\mu }{\sigma }}\right)\right)}$	x0 — точка усечения, μ — положение, σ — разброс
Парето[1][8];[10][11][12][25]	${\displaystyle \mathrm {\begin{cases}{\frac {\alpha }{x_{0}}}\left({\frac {x_{0}}{x}}\right)^{\alpha +1},&x>x_{0},\\0,&x\leq x_{0}\end{cases}} }$	α — масштаб, х0 — мин. значение
Пирсона, тип V[14][25]	${\displaystyle \mathrm {\begin{cases}{\frac {x^{-(\alpha +1)}}{\beta ^{-\alpha }\Gamma (\alpha )}}\exp \left(-{\frac {\beta }{x}}\right),&x>0,\\0,&x\leq 0\end{cases}} \ }$	α — форма; β — масштаб
Пирсона, тип VI[14][25]	${\displaystyle \mathrm {\begin{cases}{\frac {\left({\frac {x}{\beta }}\right)^{\alpha _{1}-1}}{\beta \,\mathrm {B} (\alpha _{1},\alpha _{2})\,\left(1+{\frac {x}{\beta }}\right)^{\alpha _{1}-\alpha _{2}}}},&x>0,\\0,&x\leq 0\end{cases}} \ }$	α1 , α2 — форма; β — масштаб
Степенное[10]	${\displaystyle \mathrm {\begin{cases}{\frac {cx^{c-1}}{b^{c}}},&x\in [0,b],\\0,&x\not \in [0,b]\end{cases}} }$	b — макс. значение, c — форма
Трапецеидальное	${\displaystyle \mathrm {\begin{cases}{\frac {2(x-a)}{(b+d-a-c)(c-a)}},&x\in [a,c],\\{\frac {2}{b+d-a-c}},&x\in (c,d],\\{\frac {2(b-x)}{(b+d-a-c)(b-d)}},&x\in (d,b],\\0,&x\not \in [a,b]\end{cases}} }$	a — мин., b — макс. значение; c, d — координаты верхнего основания трапеции
Трапеции прямоугольной[14]	${\displaystyle \mathrm {\begin{cases}{a+2x(1-a)},&x\in [0,1],\\0,&x\not \in [0,1]\end{cases}} }$	a — высота основания слева
Треугольное (Симпсона)[12][14]	${\displaystyle \mathrm {\begin{cases}{\frac {2(x-a)}{(b-a)(c-a)}},&x\in [a,c],\\{\frac {2(b-x)}{(b-a)(b-c)}},&x\in (c,b],\\0,&x\not \in [a,b]\end{cases}} }$	a — мин., b — макс., c — наиболее вероятное значение
Фреше (экстремальных значений, тип II)[6]	${\displaystyle \mathrm {\begin{cases}{\frac {\alpha \beta ^{\alpha }}{x^{\alpha +1}}}\exp \left(-\left({\frac {x}{\beta }}\right)^{-\alpha }\right),&x\geq 0,\\0,&x<0\end{cases}} }$	α — форма; β — масштаб
Экспоненциальное степенное[12];[10]	${\displaystyle \mathrm {\frac {exp\left(-{\frac {1}{2}}\left({\frac {|x-\mu |}{\phi }}\right)^{\frac {2}{1+\beta }}\right)}{\phi \,2^{\left({\frac {1+\beta }{2}}+1\right)}\Gamma \left({\frac {1+\beta }{2}}+1\right)}} }$	m — медиана, f — масштаб, b — форма
Экстремальных значений модифицированное[13]	${\displaystyle \mathrm {\begin{cases}{\frac {1}{\lambda }}\exp \left({x-{\frac {\exp(x)-1}{\lambda }}}\right),&x\geq 0,\\0,&x<0\end{cases}} }$	λ — форма
Эрланга[12]	${\displaystyle \mathrm {\begin{cases}{\frac {x^{\alpha -1}\,\lambda ^{\alpha }}{(\alpha -1)!}}e^{-\lambda x},&x\geq 0,\\0,&x<0\end{cases}} }$	α — форма; λ — масштаб

Примечания

1. Вероятность и математическая статистика: Энциклопедия / под ред. Ю.В. Прохорова. — М.: Большая Российская энциклопедия, 2003. — 912 с.
2. Королюк, В.С. Справочник по теории вероятностей и математической статистике / В.С. Королюк, Н.И. Портенко, А.В. Скороход, А.Ф. Турбин. — М.: Наука, 1985. — 640 с.
3. Оуэн, Д.Б. Сборник статистических таблиц / Д.Б. Оуэн. — М.: ВЦ АН СССР, 1973. — 586 с.
4. Гнеденко, Б.В. Математические методы в теории надежности / Б.В. Гнеденко, Ю.К. Беляев, А.Д. Соловьев. — М.: Наука, 1965. — 523 с.
5. Надежность и эффективность в технике: Справочник: В 10т. Т.5: Проектный анализ надежности / Под ред. В.И. Патрушева и А.И. Рембезы. — М.: Машиностроение, 1988. — 316 с.
6. СТБ ГОСТ Р 50779.10–2001 (ИСО 3534.1–93). Статистические методы. Вероятность и основы статистики. Термины и определения. — Мн.: Госстандарт, 2001. — 44 с.
7. Кендалл, М. Теория распределений / М. Кендалл, А. Стьюарт. — М.: Наука, 1966. — 587 с.
8. Серёгина, В.С. Решение инженерных задач методами математической статистики: Учеб. пособие для студентов всех спец / В.С. Серёгина. — Гомель: БелГУТ, 1994. — 107 с.
9. Уилкс, С. Математическая статистика / С. Уилкс. — М.: Наука, 1967. — 632 с.
10. MapleSoft, Waterloo Maple Inc. Maple 10. Maple Help. — 2005.
11. Matematica, Wolfram Research Inc. Matematica 5.2. Matematica Help. — 2005.
12. StatPoint, Inc. STATGRAPHICS Centurion XV. Help System. — 2005.
13. Барлоу, Р. Математическая теория надёжности. Пер. с англ. / под ред. Б.В. Гнеденко. / Р. Барлоу, Ф. Прошан. — М.: Советское радио, 1969. — 488 с.
14. Кельтон, В. Имитационное моделирование. Классика CS. 3-е изд. / В. Кельтон, А. Лоу. — СПб.: Питер, 2004. — 847 с.
15. Кобзарь, А.И. Прикладная математическая статистика: для инженеров и научных работников / А.И. Кобзарь. — М.: Физматлит, 2006. — 813 с.
16. MathSoft, Inc. Mathcad 2001 Professional. Mathcad Help. — 2000.
17. Большев, Л.Н. Таблицы математической статистики / Л.Н. Большев. — М.: Наука, 1983. — 416 с.
18. Феллер, В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. В 2-х томах. Т. 1, Т. 2: Пер. с англ. / В. Феллер. — М.: Мир, 1984. — 528 с.
19. ГОСТ 27.005–97. Надежность в технике. Модели отказов. Основные положения. — Мн.: Госстандарт, 2005. — 15 с.
20. Байхельт, Ф. Надёжность и техническое обслуживание. Математический подход: Пер. с нем. / Ф. Байхельт, П. Франкен. — М.: Радио и связь, 1988. — 392 с.
21. Сосновский, Л.А. Элементы теории вероятностей, математической статистики и теории надежности: Учеб. пособие / Л.А. Сосновский. — Гомель: БелГУТ, 1994. — 146 с.
22. Кендалл, М. Статистические выводы и связи / М. Кендалл, А. Стюарт. — М.: Наука, 1973.
23. StatSoft, Inc. Statistica V.6. STATISTICA Electronic Manual. — 2001.
24. Электронный учебник по промышленной статистике  (неопр.). Москва, StatSoft, Inc. (2001). Дата обращения: 18 декабря 2021. Архивировано 14 декабря 2011 года.
25. Minuteman Software. GPSS World. Reference manual. — 2001.
26. Крамер, Г. Математические методы статистики / Г. Крамер. — М.: Мир, 1975. — 648 с.
27. Надежность и эффективность в технике: Справочник: В 10т. Т.2: Математические методы в теории надежности и эффективности / Под ред. Б.В.Гнеденко. — М.: Машиностроение, 1987. — 280 с.
28. Шор, Я.Б. Таблицы для анализа и контроля надежности / Я.Б. Шор, Ф.И. Кузьмин. — М.: Советское радио, 1968. — 288 с.

Литература

• Андронов, А. М. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов. / А. М. Андронов, Е. А. Копытов, Л. Я. Гринглаз. СПб.: Питер, 2004. 461 с.
• Афифи, А. Статистический анализ: подход с использованием ЭВМ. / А. Афифи, С. Эйзен. М.: Мир, 1982. 486 с.
• Герасимович, А. И. Математическая статистика. / А. И. Герасимович. Мн: Вышэйшая шко-ла, 1983. 275 с.
• Ефремова, Н. Ю. Оценка неопределенности в измерениях: Практическое пособие. / Н. Ю. Ефремова. Мн.: БелГИМ, 2003. 50 с.
• Каазик, Ю. Я. Математический словарь. / Ю. Я. Каазик. Таллинн: Валгус, 1985. 296 с.
• Капур, К. Надежность и проектирование систем. / К. Капур, Л. Ламберсон. М.: Мир, 1980. 606 с.
• Корн, Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров. / Г. Корн, Т. Корн. М.: Наука, 1970. 720 с.
• Ликеш, И. Основные таблицы математической статистики. / И. Ликеш, И. Ляго. М.: Финансы и статистика, 1985. 356 с.
• Математическая энциклопедия / Гл. ред. И. М. Виноградов. М.: Сов. энциклопедия. В 5-ти томах, 1977.
• Орлов, А. И. Прикладная статистика: учебник / А. И. Орлов. М.: Издательство «Экзамен», 2006. 671 с.
• Половко, А. М. Основы теории надежности. / А. М. Половко, С. В. Гуров. СПб.: БХВ-Петербург, 2006. 704 с.
• Решетов, Д. Н. Надежность машин. / Д. Н. Решетов, А. С. Иванов, В. З. Фадеев. М. Высш. шк., 1988. 238 c.
• Справочник по прикладной статистике. В 2-х т. / Под ред. Э. Ллойда, У. Ледермана, Ю. Н. Тюрина. М.: Финансы и статистика, 1989, 1990.
• Харин, Ю. С. Практикум на ЭВМ по математической статистике. / Ю. С. Харин, М. Д. Степанова. Мн.: «Университетское», 1987. 304 с.
• Хастингс, Н. Справочник по статистическим распределениям. / Н. Хастингс, Дж. Пикок. М.: Финансы и статистика, 1987. 95 с.
• SPSS, Inc. (2004). SPSS V.13. Help.