Замкнутое множество

Замкнутое множество — подмножество ${\displaystyle V}$ топологического пространства ${\displaystyle X}$ с топологией ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$, дополнение к которому открыто: ${\displaystyle X\setminus V\in {\mathcal {T}}}$. Впервые определены Георгом Кантором в 1884 году^[1].

Пустое множество ${\displaystyle \varnothing }$ всегда замкнуто (и, в то же время, открыто). Отрезок ${\displaystyle [a,b]\subset \mathbb {R} }$ замкнут в стандартной топологии на вещественной прямой, так как его дополнение открыто. Множество ${\displaystyle \mathbb {Q} \cap [0,1]}$ замкнуто в пространстве рациональных чисел ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, но не замкнуто в пространстве всех вещественных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

Замыкание множества ${\displaystyle U}$ топологического пространства ${\displaystyle X}$ — минимальное по включению замкнутое множество ${\displaystyle Z}$, содержащее ${\displaystyle U}$. Множество замкнуто тогда и только тогда, когда совпадает со своим замыканием.

Важный подкласс замкнутых множеств образуют канонически замкнутые множества, каждое из которых является замыканием какого-либо открытого множества (и, следовательно, совпадает с замыканием своей внутренности). В каждом замкнутом множестве ${\displaystyle F}$  содержится максимальное канонически замкнутое множество — им будет замыкание внутренности множества ${\displaystyle F}$^[2].

Примечания

1. G. Cantor. “De la puissance des ensembles parfaits de points”. Acta Math. 4.1 (1884). Extrait d’une lettre adressée à l’éditeur, pp. 381–392.
2. Александров П. С., Пасынков В. А.  Введение в теорию размерности. — М.: Наука, 1973. — 576 с. — C. 24.

Литература

• Энгелькинг, Р.^[англ.]. Общая топология. — М.: Мир, 1986. — 752 с.
• Келли, Дж. Л.^[англ.]. Общая топология. — М.: Наука, 1968. — 388 с.