Жезл (плоская кривая)

У этого термина существуют и другие значения, см. Жезл (значения).

Жезл, литуус — плоская трансцендентная кривая, определяемая уравнением (в полярной системе координат):

${\displaystyle \rho ={\frac {a}{\sqrt {\varphi }}}}$

Кривая жезл

, где ${\displaystyle \alpha }$ — некоторая постоянная константа.

Представляет собой частный случай архимедовой спирали ${\displaystyle \rho =\alpha \phi ^{1/n}}$ при ${\displaystyle n=-2}$.

Вычисление кривизны спирали и угла наклона касательной совершаются по формулам:

${\displaystyle \kappa (\phi )=(8\phi ^{2}-2){\biggl (}{\frac {\phi }{1+4\phi ^{2}}}{\biggr )}^{3/2}}$

${\displaystyle \tau (\phi )=\phi -\tan ^{-1}(2\phi )}$^[1]

Кривая стремится из бесконечности (где она асимптотически приближается к горизонтальной оси) к точке ${\displaystyle (0;0)}$, закручиваясь вокруг неё по спирали против часовой стрелки. Размер спирали определяется коэффициентом ${\displaystyle a}$. Имеет одну точку перегиба — ${\displaystyle \textstyle \left({\frac {1}{2}};a{\sqrt {2}}\right)}$.

Кривая относится к алгебраическим спиралям.

История

Кривая была описана Роджером Котсом в сборнике работ под названием «Гармонические измерения» (лат. Harmonia Mensurarum, 1722), опубликованном 6 лет спустя после его смерти. Котс назвал её литуусом — из-за сходства с жезлом древнеримских авгуров.

Примечания

1. Weisstein, Eric W. Lituus (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Ссылки

• Интерактивная визуализация кривой с помощью JSXGraph

см. также

Спираль