Loading AI tools
Из Википедии, свободной энциклопедии
Двоичный логарифм — логарифм по основанию 2. Другими словами, двоичный логарифм числа есть решение уравнения
Двоичный логарифм вещественного числа существует, если Согласно стандарту ISO 31-11, он обозначается[1] или . Примеры:
Исторически двоичные логарифмы нашли своё первое применение в теории музыки, когда Леонард Эйлер установил: двоичный логарифм отношения частот двух музыкальных тонов равен количеству октав, которое отделяет один тон от другого. Эйлер также опубликовал таблицу двоичных логарифмов целых чисел от 1 до 8 с точностью до семи десятичных знаков[2][3].
С созданием информатики выяснилось, что двоичные логарифмы необходимы для определения количества битов, требующихся для кодирования сообщения. Другие области, в которых часто используется двоичный логарифм, включают комбинаторику, биоинформатику, криптографию, проведение спортивных турниров и фотографию. Стандартная функция для вычисления двоичного логарифма предусмотрена во многих распространённых системах программирования.
В нижеследующей таблице предполагается, что все значения положительны[4]:
Формула | Пример | |
---|---|---|
Произведение | ||
Частное от деления | ||
Степень | ||
Корень |
Существует очевидное обобщение приведенных формул на случай, когда допускаются отрицательные переменные, например:
Формула для логарифма произведения без труда обобщается на произвольное количество сомножителей:
Связь двоичного, натурального и десятичного логарифмов:
Если рассматривать логарифмируемое число как переменную, мы получим функцию двоичного логарифма: . Она определена при всех область значений: . График этой функции часто называется логарифмикой, она обратна для функции . Функция монотонно возрастает, непрерывна и дифференцируема всюду, где она определена. Производная для неё даётся формулой[5]:
Ось ординат является вертикальной асимптотой, поскольку:
Двоичный логарифм натурального числа позволяет определить число цифр во внутреннем компьютерном (битовом) представлении этого числа:
Информационная энтропия — мера количества информации, также основана на двоичном логарифме
Оценка асимптотической сложности рекурсивных алгоритмов, основанных на принципе «разделяй и властвуй»[6] — таких, как быстрая сортировка, быстрое преобразование Фурье, двоичный поиск и т. п.
Если двоичное дерево содержит узлов, то его высота не меньше, чем (равенство достигается, если является степенью 2)[7]. Соответственно, число Стралера — Философова для речной системы с притоками не превышает[8] .
Изометрическая размерность частичного куба с вершинами не меньше, чем Число рёбер куба не более, чем равенство имеет место, когда частичный куб является графом гиперкуба[9].
Согласно теореме Рамсея, неориентированный граф с вершинами содержит либо клику, либо независимое множество, размер которого логарифмически зависит от Точный размер этого множества неизвестен, но наилучшие в настоящий момент оценки содержат двоичные логарифмы.
Число кругов игры по олимпийской системе равно двоичному логарифму от числа участников соревнований[10].
В теории музыки, чтобы решить вопрос о том, на сколько частей делить октаву, требуется отыскать рациональное приближение для Если разложить это число в непрерывную дробь, то третья подходящая дробь (7/12) позволяет обосновать классическое деление октавы на 12 полутонов[11].
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.