Горизонт Киллинга

В физике горизонт Киллинга — это нулевая гиперповерхность^[англ.], определяемая обращением в нуль нормы поля Киллинга (оба названы в честь Вильгельма Киллинга)^[1].

Плоское пространство-время

В пространстве-времени Минковского, в псевдодекартовых координатах ${\displaystyle (t,x,y,z)}$ с сигнатурой ${\displaystyle (+,-,-,-),}$ пример горизонта Киллинга представлен ускорением Лоренца (вектор Киллинга пространства-времени)

${\displaystyle V=x\,\partial _{t}+t\,\partial _{x}.}$

Площадь нормы ${\displaystyle V}$ равен

${\displaystyle g(V,V)=x^{2}-t^{2}=(x+t)(x-t).}$

Следовательно, ${\displaystyle V}$ имеет значение NULL только на гиперплоскостях уравнений

${\displaystyle x+t=0,{\text{ и }}x-t=0,}$

так, что вместе взятые, они являются горизонтами Киллинга, созданными ${\displaystyle V}$^[2].

С горизонтом Киллинга связана геометрическая величина, известная как поверхностная гравитация, ${\displaystyle \kappa }$. Если поверхностная гравитация исчезает, горизонт Киллинга называется вырожденным.

Горизонты Киллинга чёрной дыры

Точные метрики чёрной дыры, такие как метрика Керра — Ньюмана, содержат горизонты Киллинга, которые совпадают с их эргосферой. Для этого пространства-времени горизонт Киллинга расположен в

${\displaystyle r=r_{e}:=M+{\sqrt {M^{2}-Q^{2}-a^{2}\cos ^{2}\theta }}.}$

В обычных координатах за пределами горизонта Киллинга поле ${\displaystyle \partial /\partial t}$ вектора Киллинга подобно времени, а внутри — подобно пространству. Температура излучения Хокинга связана с поверхностной гравитацией ${\displaystyle c^{2}\kappa }$ на ${\displaystyle T_{H}={\frac {\hbar c\kappa }{2\pi k_{B}}}}$ с :${\displaystyle k_{B}}$^[3].

Космологические горизонты Киллинга

Пространство Де Ситтера имеет горизонт Киллинга радиуса ${\displaystyle r={\sqrt {3/\Lambda }}}$, который испускает тепловое излучение при температуре ${\displaystyle T=(1/2\pi ){\sqrt {\Lambda /3}}}$.

Примечания

1. Харви Реалл. Чёрные дыры. — 2008. — P. 17. Архивная копия от 15 июля 2015 на Wayback Machine Источник  (неопр.). Дата обращения: 17 июля 2021. Архивировано 15 июля 2015 года.
2. П. Т. Хрусьцель. "Чёрные дыры: введение". в "100 лет теории относительности", под редакцией А. Аштекара, World Scientific, 2005 год.
3. ${\displaystyle k_{B}}$ — постоянная Больцмана