![cover image](https://wikiwandv2-19431.kxcdn.com/_next/image?url=https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9b/ProjectivePlaneAsSquare.svg/langru-640px-ProjectivePlaneAsSquare.svg.png&w=640&q=50)
Вещественная проективная плоскость
Материал из Википедии — свободной encyclopedia
Вещественная проективная плоскость является примером компактного неориентированного двумерного многообразия, другими словами, односторонней поверхности. Проективную плоскость невозможно вложить в обычное трёхмерное пространство без самопересечения. Основная область применения этой плоскости — геометрия, поскольку основное построение вещественной проективной плоскости — пространство прямых в R3, проходящих через начало координат.
![]() Фундаментальный многоугольник[англ.] проективной плоскости. |
![]() Лента Мёбиуса с единственным ребром может быть замкнута в проективную плоскость путём склеивания противоположных краёв. |
![]() Для сравнения, бутылка Клейна — это Лента Мёбиуса, замкнутая в цилиндр. |
Плоскость часто описывают топологически в терминах построения на основе ленты Мёбиуса — если склеить (единственный) край ленты Мёбиуса с собой в правильном направлении, получим проективную плоскость (это нельзя осуществить в трёхмерном пространстве). Эквивалентно, приклеивание круга вдоль границы ленты Мёбиуса даёт проективную плоскость. Топологически, поверхность имеет эйлерову характеристику 1, поскольку полурод (неориентируемый или эйлеров род) равен 1.
Поскольку лента Мёбиуса, в свою очередь, может быть построена из квадрата путём склеивания двух его сторон, вещественная проективная плоскость может быть представлена как единичный квадрат (то есть [0,1] × [0,1]), в котором стороны отождествлены следующим отношением эквивалентности:
и
,
как на левом рисунке выше.