Вариация функционала

Вариация функционала, или первая вариация функционала, — обобщение понятия дифференциала функции одной переменной, главная линейная часть приращения функционала вдоль определенного направления. Понятие используется в теории экстремальных задач для получения необходимых и достаточных условий экстремума. Именно такой смысл вкладывается в этот термин, начиная с работы 1762 года Ж. Лагранжа^[1]. Ж. Лагранж рассматривал по преимуществу функционалы классического вариационного исчисления (действие) вида:

${\displaystyle J(x)=\int \limits _{t_{0}}^{t_{1}}L(t,\;x(t),\;{\dot {x}}(t))\,dt.\qquad (*)}$

Формальное определение

Рассмотрим изменение функционала (*) от одной точки функционального пространства к другой (от одной функции к другой). Для этого сделаем замену ${\displaystyle x(t)\mapsto x_{1}(t)-x(t)}$ и подставим в выражение (*). При допущении о непрерывной дифференцируемости ${\displaystyle L}$ имеет место равенство, аналогичное выражению для дифференциала функции:

${\displaystyle J(x_{1})=J(x)+J_{1}(\delta x)+\varepsilon r(x,\;x_{1}),}$

где остаточный член ${\displaystyle |r(x,\;x_{1})|\to 0}$ — расстояние между функциями и ${\displaystyle \varepsilon \to 0}$, а ${\displaystyle \delta x(t)=x_{1}(t)-x(t)}$. При этом линейный функционал ${\displaystyle J_{1}(\delta x)}$ называется (первой) вариацией функционала ${\displaystyle J(x)}$ и обозначают через ${\displaystyle \delta J}$.

Применительно к функционалу (*) для первой вариации имеет место равенство с точностью до величины порядка высшего, чем ${\displaystyle |r(\delta x)|}$:

${\displaystyle \delta J(x)=\int \limits _{t_{0}}^{t_{1}}(L_{x}(t,\;x(t),\;{\dot {x}}(t))\,\delta x+p(t)\,\delta {\dot {x}})\,dt=\int \limits _{t_{0}}^{t_{1}}(L_{x}(t,\;x(t),\;{\dot {x}}(t))-{\dot {p}}(t))\,\delta x\,dt+p(t)\,\delta x)|_{t_{0}}^{t_{1}},}$

где

${\displaystyle p(t)=L_{\dot {x}}(t,\;x(t),\;{\dot {x}}(t))}$

- обобщённый импульс.

При этом ${\displaystyle p(t)\,\delta x|_{t_{0}}^{t_{1}}=0}$, поскольку ${\displaystyle \delta x(t_{0})=\delta x(t_{1})=0.}$

Равенство нулю первой вариации для всех ${\displaystyle \delta x}$ является необходимым условием экстремума функционала ${\displaystyle J(x)}$. Для функционала (*) из этого необходимого условия и основной леммы вариационного исчисления следует уравнение Эйлера:

${\displaystyle {\dot {p}}(t)=L_{x}(t,\;x(t),\;{\dot {x}}(t)).}$

Аналогичным образом определяются вариации более высоких порядков.

Общее определение первой вариации в бесконечномерном анализе было дано французским математиком Рене Гато^[англ.] в 1913 году. По сути своей определение Гато тождественно с определением Лагранжа^[2].

Первая вариация функционала является однородным, но не обязательно линейным функционалом, вариация функционала при дополнительном предположении о линейности и непрерывности (по ${\displaystyle \delta x}$) выражения ${\displaystyle \delta J(x,\;\delta x)}$ обычно называется производной Гато. В современной математике термины «вариация Гато», «производная Гато», «дифференциал Гато» более употребимы, чем вариация функционала^[3]. При этом термин «вариация функционала» сохраняется лишь для функционалов классического вариационного исчисления.

Литература

• Лаврентьев, M. А., Люстерник, Л. А. Курс вариационного исчисления. — в 2-х тт. — 2-е изд. — М.—Л.: ОНТИ, 1953.

Примечания

1. Lagrange J. Essai d’une nouvelle méthode pour déterminer les maxima et les minima des formules intégrales indéfinies. — Turin, 1762.
2. Gateaux R. Bulletin de la Société Mathématique de France. — 1919. — t. 47. — p. 70—96.
3. Математическая энциклопедия / Под ред. И. М. Виноградова. — М.: Мир, 1977. — Т. 1. — 1140 с.