Аналитическая функция
Материал из Википедии — свободной encyclopedia
Аналитическая (голоморфная) функция — функция, которая может быть представлена степенным рядом:
где
— комплексные коэффициенты, не зависящие от комплексной переменной
[1].
Аналитическая функция вещественной переменной — функция, которая совпадает со своим рядом Тейлора в окрестности любой точки области определения.
Однозначная функция называется аналитической в точке
, если сужение функции
на некоторую окрестность
является аналитической функцией.
Если функция аналитична в точке
, то она аналитическая в каждой точке некоторой окрестности точки
.
Однозначная аналитическая функция одной комплексной переменной — это функция , для которой в некоторой односвязной области
, называемой областью аналитичности, выполняется одно из четырёх равносильных условий:
- Ряд Тейлора функции в каждой точке
сходится, и его сумма равна
(аналитичность в смысле Вейерштрасса).
- В каждой точке
выполняются условия Коши — Римана
и
Здесь
и
— вещественная и мнимая части рассматриваемой функции. (Аналитичность в смысле Коши — Римана.)
- Интеграл
для любой замкнутой кривой
(аналитичность в смысле Коши).
- Функция
является голоморфной в области
. То есть
комплексно дифференцируема в каждой точке
.
В курсе комплексного анализа доказывается эквивалентность этих определений.