Аксиома зависимого выбора
одно из ослаблений аксиомы выбора / Материал из Википедии — свободной encyclopedia
Аксиома зависимого выбора — одно из ослаблений аксиомы выбора. Обычно обозначается как . Аксиома зависимого выбора следует из полной аксиомы выбора и влечёт за собой аксиому счётного выбора, таким образом, в
.
Формулировка: если задано произвольное непустое множество с полным слева отношением
(отношение
называется полным слева, если для любого
существует
, что
), то существует такая последовательность
элементов
, что[1]:
.
Следующие утверждения эквивалентны в аксиоме зависимого выбора: теорема Бэра о категориях[2]; теорема Лёвенгейма — Скулема (в сильном варианте для счётных или конечных сигнатур)[3][4]; лемма Цорна для конечных цепей. У леммы Цорна для конечных цепей есть две эквивалентных формулировки:
- если в частично упорядоченном множестве все цепи конечны, то множество имеет максимальный элемент.[1];
- если в частично упорядоченном множестве все вполне-упорядоченные цепи конечны, то множество имеет максимальный элемент.[5]
(Несмотря на то, что вторая формулировка сильнее, чем первая, они эквивалентны в .)