Удлинённый четырёхскатный купол

Удлинённый четырёхска́тный ку́пол^[1] — один из многогранников Джонсона (J₁₉, по Залгаллеру — М₅+П₈).

Удлинённый четырёхскатный купол
(3D-модель)
Тип	многогранник Джонсона
Свойства	выпуклый
Комбинаторика
Элементы	18 граней 36 рёбер 20 вершин Χ = 2
Грани	4 треугольника 13 квадратов 1 восьмиугольник
Конфигурация вершины	8(42.8) 4+8(3.43)
Развёртка
Классификация
Обозначения	J19, М5+П8
Группа симметрии	C4v

Составлен из 18 граней: 4 правильных треугольников, 13 квадратов и 1 правильного восьмиугольника. Восьмиугольная грань окружена восемью квадратными; среди квадратных граней 4 окружены восьмиугольной и тремя квадратными, 4 — восьмиугольной, двумя квадратными и треугольной, 1 — четырьмя квадратными, остальные 4 — двумя квадратными и двумя треугольными; каждая треугольная грань окружена тремя квадратными.

Имеет 36 рёбер одинаковой длины. 8 рёбер располагаются между восьмиугольной и квадратной гранями, 16 рёбер — между двумя квадратными, остальные 12 — между квадратной и треугольной.

У удлинённого четырёхскатного купола 20 вершин. В 8 вершинах сходятся восьмиугольная и две квадратных грани; в остальных 12 — три квадратных и треугольная.

Удлинённый четырёхскатный купол можно получить из двух многогранников — четырёхскатного купола (J₄) и правильной восьмиугольной призмы, все рёбра у которой равны, — приложив их друг к другу восьмиугольными гранями.

Кроме того, удлинённый четырёхскатный купол можно получить из ромбокубооктаэдра, отсекши от того один четырёхскатный купол. Вершины полученного многогранника — 20 из 24 вершин ромбокубооктаэдра, рёбра — 36 из 48 рёбер ромбокубооктаэдра; отсюда ясно, что у удлинённого четырёхскатного купола тоже существуют описанная и полувписанная сферы, причём они совпадают с описанной и полувписанной сферами исходного ромбокубооктаэдра.

Метрические характеристики

Если удлинённый четырёхскатный купол имеет ребро длины ${\displaystyle a}$, его площадь поверхности и объём выражаются как

${\displaystyle S=\left(15+2{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}\right)a^{2}\approx 19{,}5604779a^{2},}$

${\displaystyle V=\left(3+{\frac {8{\sqrt {2}}}{3}}\right)a^{3}\approx 6{,}7712362a^{3}.}$

Радиус описанной сферы (проходящей через все вершины многогранника) при этом будет равен

${\displaystyle R={\frac {1}{2}}{\sqrt {5+2{\sqrt {2}}}}\;a\approx 1{,}3989663a;}$

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}{\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}\;a\approx 1{,}3065630a.}$

В координатах

Удлинённый четырёхскатный купол с длиной ребра ${\displaystyle 2}$ можно расположить в декартовой системе координат так, чтобы его вершины имели координаты

• ${\displaystyle \left(\pm \left(1+{\sqrt {2}}\right);\;\pm 1;\;\pm 1\right),}$
• ${\displaystyle \left(\pm 1;\;\pm \left(1+{\sqrt {2}}\right);\;\pm 1\right),}$
• ${\displaystyle \left(\pm 1;\;\pm 1;\;1+{\sqrt {2}}\right).}$

При этом ось симметрии многогранника будет совпадать с осью Oz, а две из четырёх плоскостей симметрии — с плоскостями xOz и yOz.

Заполнение пространства

С помощью удлинённых четырёхскатных куполов можно замостить трёхмерное пространство без промежутков и наложений вместе с правильными тетраэдрами и кубами; вместе с кубами и кубооктаэдрами; вместе с удлинёнными четырёхугольными пирамидами (J₈) и удлинёнными четырёхугольными бипирамидами (J₁₅) — последние два многогранника можно также разрезать на кубы и квадратные пирамиды (J₁) (см. иллюстрации).

Примечания

1. Залгаллер В. А. Выпуклые многогранники с правильными гранями / Зап. научн. сем. ЛОМИ, 1967. — Т. 2. — Cтр. 20.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Удлинённый четырёхскатный купол (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.