Loading AI tools
Из Википедии, свободной энциклопедии
Теорема Лиувилля об интеграле уравнения Гамильтона — Якоби — утверждение о достаточных условиях интегрируемости в квадратурах (существования решения в виде комбинации элементарных функций и интегралов от них) уравнения Гамильтона — Якоби.
Если в голономной системе с степенями свободы кинетическая энергия имеет вид
и потенциальная энергия имеет вид
где , то интегрирование уравнения Гамильтона—Якоби приводит к квадратурам (решение можно представить в виде комбинации элементарных функций и интегралов от них).[1]
Функция Гамильтона для условий теоремы имеет вид:
Обобщенные импульсы равны
С учётом этого функция Гамильтона:
Произведем замену . Уравнение Гамильтона — Якоби примет вид[2]:
Будем искать полный интеграл этого уравнения в виде:
Уравнение Гамильтона — Якоби примет вид:
Каждое слагаемое левой части этого уравнения зависит только от одной обобщённой координаты , поэтому можно применить метод разделения переменных. Это уравнение выполняется, если каждое из слагаемых равно постоянной величине:
причем должно выполняться условие . Каждое из уравнений (1) является дифференциальным уравнением первого порядка, интегрирование которого сводится к квадратуре:
Таким образом, полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби равен:
Этот интеграл содержит произвольных постоянных и постоянную [3]
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.