Локсодрома

Локсодрома, или локсодромия^[1] (от др.-греч. «λοξός» — «косой», «наклонный» и «δρόμος» — «путь»^[2]) — кривая на поверхности вращения, пересекающая все меридианы под постоянным углом, называемым локсодромическим путевым углом.

Локсодрома от полюса до полюса

История

Введена в рассмотрение португальским математиком Нониусом в 1529 году^[3].

В труде «Tiphys batavus» (1624) нидерландский математик Виллеброрд Снелл пересекающую все меридианы под постоянным углом кривую назвал «локсодромой», исследовал её. Работа состояла из двух частей — теоретической и практических упражнений с рекомендациями^[4].

В геодезии и картографии

На поверхности Земли локсодромами являются все параллели (путевой угол может быть равен 90°, 270° и т. д.) и все меридианы (путевой угол 0°, 180° и т. д.). Локсодромы под остальными углами являются спиралями, совершающими неограниченное число витков, приближаясь к полюсам. Тем не менее, если путешественник будет двигаться по любой локсодроме (кроме параллелей) с постоянной скоростью не останавливаясь, то он обязательно придёт к одному из полюсов за конечное время. Картографическая проекция, в которой все локсодромы изображены прямыми, называется проекцией Меркатора.

В навигации

Если передвигаться с фиксированным путевым углом по Земле, которую условно принять за сферу или геоид, то траектория движения объекта и будет локсодромией^[5]. Локсодрома не является кратчайшим путём между двумя пунктами (исключение — меридианы и экватор). Тем не менее, в старину суда и путешественники нередко двигались по локсодромам, так как идти под постоянным углом к Полярной звезде проще и удобнее. С изобретением компаса мореплаватели перешли на движение по «магнитным локсодромам», то есть по линиям с постоянным углом к магнитному северу, что дало возможность продолжать движение и в облачную погоду. Но как только были выяснены магнитные склонения во всех местах Земли, люди вновь перешли на обычные локсодромы. Даже в XX веке локсодромия использовалась при расчёте требуемого курса при прокладке маршрута самолётов и морских судов. Со временем, когда появились приборы с достаточной вычислительной мощностью для вычисления текущего требуемого путевого угла, начали активно применять ортодромию (кратчайший путь), особенно для дальних маршрутов самолётов^[6].

Построение локсодромы сферы

Отрезок локсодромы, от экватора до полюса

Для того чтобы на полётных картах проложить локсодромический путь, необходимо соединить конечные точки маршрута прямой линией и измерить путевой угол у среднего меридиана. Точнее, локсодромический путевой угол рассчитывается как средний угол, снятый у начальной и конечной точек маршрута. После этого полученный путевой угол строят последовательно у всех меридианов на карте, начиная от пункта вылета. Полученная при построении ломаная линия практически близко подходит к локсодромии. Более точно локсодромический путевой угол ${\displaystyle \alpha }$ может быть вычислен по формуле:

${\displaystyle \mathrm {tg} \alpha ={\frac {\lambda _{2}-\lambda _{1}}{\varphi _{2}-\varphi _{1}}}\cos \varphi _{m}}$,

• где ${\displaystyle \alpha }$ — искомый путевой угол;
• ${\displaystyle \varphi _{1}}$ и ${\displaystyle \varphi _{2}}$ — широты пунктов вылета и прибытия;
• ${\displaystyle \lambda _{1}}$ и ${\displaystyle \lambda _{2}}$ — долготы этих пунктов;
• ${\displaystyle \varphi _{m}}$ — средняя широта перелёта.

Пример. Определить истинный локсодромический путевой угол ${\displaystyle \alpha }$ при полёте из г. Реймса в г. Потсдам.

Решение. Определяем координаты:

 — Реймса ${\displaystyle \varphi _{1}=49^{\circ }15'=2955';\lambda _{1}=4^{\circ }02'=242';}$

 — Потсдама ${\displaystyle \varphi _{2}=52^{\circ }24'=3144';\lambda _{2}=13^{\circ }04'=784';}$

средняя широта ${\displaystyle \varphi _{m}=50^{\circ }50'}$; ${\displaystyle \cos 50^{\circ }50'=0{,}6316}$. Следовательно,

${\displaystyle \mathrm {tg} \alpha ={\frac {784-242}{3144-2955}}0{,}6316=1{,}806}$,

${\displaystyle \alpha =61^{\circ }}$.

Полученный результат будет правильным, если конечная точка маршрута лежит в первой четверти (0 — 90°). Если конечная точка лежит во второй четверти (90° — 180°), искомый путевой угол получают, вычитая полученное число градусов из 180°. Если же конечная точка находится в третьей четверти (180° — 270°), к полученному углу прибавляют 180°, а если в четвёртой четверти (270° — 360°), то полученный угол вычитают из 360°.

Длина локсодромии в км определяется по формулам:

а) Для углов ${\displaystyle \alpha }$, близких к 0° или 180°,

${\displaystyle S\approx {\frac {\varphi _{2}-\varphi _{1}}{\cos \alpha }}\cdot 1{,}852}$км,

где ${\displaystyle \varphi _{1}}$ и ${\displaystyle \varphi _{2}}$ — широты пунктов вылета и прибытия, выраженные в минутах, или

${\displaystyle S\approx {\frac {\varphi _{2}-\varphi _{1}}{\cos \alpha }}\cdot 111{,}18}$км,

где ${\displaystyle \varphi _{1}}$ и ${\displaystyle \varphi _{2}}$ выражены в градусах.

б) Для углов ${\displaystyle \alpha }$, близких к 90° или 270°,

${\displaystyle S\approx {\frac {\lambda _{2}-\lambda _{1}}{\sin \alpha }}\cdot \cos \varphi _{m}\cdot 1{,}852}$км.

Разность между длинами локсодромии и ортодромии DS достигает своей максимальной величины при полёте вдоль параллели.

Так, например, длина локсодромии между Реймсом и Потсдамом из предыдущего примера может быть приближённо вычислена по формуле:

${\displaystyle S\approx {\frac {784-242}{\sin 61^{\circ }}}\cdot 0{,}6316\cdot 1{,}852\approx 725}$км.

Формулы в декартовых координатах

Параметрические формулы, задающие локсодрому с путевым углом ${\displaystyle \alpha }$ на сфере радиуса ${\displaystyle r}$ в декартовой системе координат, имеют вид:

${\displaystyle x=r{\frac {\cos \lambda }{\mathrm {ch} [(\lambda -\lambda _{0})\operatorname {ctg} \alpha ]}};}$

${\displaystyle y=r{\frac {\sin \lambda }{\mathrm {ch} [(\lambda -\lambda _{0})\operatorname {ctg} \alpha ]}};}$

${\displaystyle z=r\,\mathrm {th} [(\lambda -\lambda _{0})\operatorname {ctg} \alpha ];}$

где параметр ${\displaystyle \lambda }$ изменяется от 0 до ${\displaystyle 2\pi }$ и является долготой точки. Здесь ${\displaystyle \mathrm {ch} }$ и ${\displaystyle \mathrm {th} }$ — гиперболические косинус и тангенс.

См. также

• Ортодрома
• Картография
• Морская навигация
• Воздушная навигация

Примечания

1. Локсодромия // Морской энциклопедический справочник / Под ред. Н. Н. Исанина. — Ленинград: Судостроение, 1987. — Т. 1. — С. 398. — 512 с. — 30 000 экз.
2. Исторический словарь галлицизмов русского языка. — М.: Словарное издательство ЭТС. Николай Иванович Епишкин. 2010
3. Шаль, Мишель. Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов. Гл. III, n. 39.
4. MacTutor.
5. Это нетрудно доказать, используя определения путевого угла и определение локсодромии.
6. Для экономии топлива и сокращения времени в пути.

Ссылки

• Онлайн калькулятор: Путевой угол и расстояние между двумя точками по локсодроме (линии румба)
• Лаксодромия // Военная энциклопедия : [в 18 т.] / под ред. В. Ф. Новицкого … [и др.]. — СПб. ; [М.] : Тип. т-ва И. Д. Сытина, 1911—1915.
• Джон Дж. О’Коннор и Эдмунд Ф. Робертсон. Локсодрома (англ.) — биография в архиве MacTutor.