Ковёр Аполлония

Ковёр Аполлония, или сетка Аполлония — фрактал, строящийся по трём попарно касающимся окружностям. Представляет собой предельное множество всевозможных последовательностей окружностей, каждая из которых касается трёх уже построенных. Назван в честь греческого математика Аполлония Пергского.

Пример сетки Аполлония

Построение

Начнём с трёх окружностей, каждая из которых является касательной к двум другим. Далее добавляем к имеющейся фигуре рекурсивно окружности, каждая из которых касается каких-нибудь трёх уже построенных окружностей. На первом шаге мы добавим две, на втором шесть, и так далее.

Продолжая построение, мы добавляем 2·3ⁿ новых окружностей на n-м шаге.

Замыкание построенных окружностей называется сеткой Аполлония.

Свойства

• Сетка Аполлония имеет Хаусдорфову размерность около 1,3057^[1].
• Сетку Аполлония можно представить как объединение двух подмножеств, гомеоморфных треугольнику Серпинского, с общими вершинами.
• Подгруппа группы преобразований Мёбиуса, состоящая из таких преобразований, которые переводят сетку Аполлония в себя, действует транзитивно на окружностях сетки.
• Сетку Аполлония можно определить как предельное множество группы преобразований плоскости образованной инверсиями в четырёх попарно касательных окружностях.

Кривизны

Кривизна окружности определяется как обратное к её радиусу.

• Отрицательная кривизна указывает на то, что все другие круги касаются этой окружность изнутри. Это ограничивающая окружность.
• Нулевая кривизна даёт линию (окружность с бесконечным радиусом).
• Положительная кривизна указывает на то, что все другие круги касаются этой окружность снаружи. Этот круг находится внутри круга с отрицательной кривизной.

В сетке Аполлония все окружности имеют положительную кривизну, кроме одной, ограничивающей окружности.

Целые сетки Аполлония

Предположим, ${\displaystyle a,b,c,d}$ обозначают кривизны четырёх попарно касающихся окружностей. По теореме Декарта

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}={\tfrac {1}{2}}\cdot (a+b+c+d)^{2}.}$

Отсюда следует, что если четыре попарно касающиеся окружности имеют целые кривизны, то и все остальные окружности в их сетке Аполлония имеют целые кривизны. Имеется бесконечно много таких целых сеток. ^[2] Ниже приведены несколько целых сеток с отмеченными кривизнами окружностей.

• 
• 
• 
• 
• 

Вариации и обобщения

Пространственная сетка Аполлония

Трёхмерный эквивалент сетки Аполлония — Аполлониева упаковка сфер.

См. также

• Ковёр Серпинского

Примечания

1. Curtis T. McMullen. Hausdorff Dimension and Conformal Dynamics, III: Computation of Dimension : [арх. 17 мая 2011] // American Journal of Mathematics. — Vol. 120. — P. 691—721. — doi:10.1353/ajm.1998.0031.
2. Ronald L. Graham, Jeffrey C. Lagarias, Colin M. Mallows, Alan R. Wilks, and Catherine H. Yan; "Apollonian Circle Packings: Number Theory", J. Number Theory, 100 (2003), 1–45.

Литература

• А. А. Кириллов. Часть II. Ковер Аполлония // Повесть о двух фракталах. — 2-е изд., исправленное. — М.: Издательство МЦНМО, 2010. — (Летняя школа «Современная математика»). — ISBN 978-5-94057-670-9.