P-матрица

В Математика P-матрица - это комплексная Квадратная матрица, для которой каждый главный Минор (линейная алгебра) положителен. С тесно связанным классом являются ${\displaystyle P_{0}}$-матрицы, которые являются замыканием класса P-матриц, с каждым главным минором ${\displaystyle \geq }$ 0.

Спектры P-матриц

По теореме Келлогга,^[1][2] Собственные значения из P- и ${\displaystyle P_{0}}$- матрицы ограничены от клина относительно отрицательной вещественной оси следующим образом:

Если${\displaystyle \{u_{1},...,u_{n}\}}$ являются собственными значениями n-мерной P-матрицы, где ${\displaystyle n>1}$, тогда

${\displaystyle |\arg(u_{i})|<\pi -{\frac {\pi }{n}},\ i=1,...,n}$

Если ${\displaystyle \{u_{1},...,u_{n}\}}$, ${\displaystyle u_{i}\neq 0}$, ${\displaystyle i=1,...,n}$ являются собственными значениями n-мерного ${\displaystyle P_{0}}$-матрица, тогда

${\displaystyle |\arg(u_{i})|\leq \pi -{\frac {\pi }{n}},\ i=1,...,n}$>

Примечания

1. Kellogg, R. B. (April 1972). "On complex eigenvalues ofM andP matrices". Numerische Mathematik. 19 (2): 170—175. doi:10.1007/BF01402527.
2. Fang, Li (July 1989). "On the spectra of P- and P0-matrices". Linear Algebra and its Applications. 119: 1—25. doi:10.1016/0024-3795(89)90065-7.

Класс неособых M-матрица является подмножеством класса P-матриц. Более точно, все матрицы, которые одновременно являются P-матрицами и Z-матрица (математика), являются неособыми M-матрицами. Класс достаточных матриц является еще одним обобщением P-матриц.^[1]

Линейная задача о дополнительности ${\displaystyle \mathrm {LCP} (M,q)}$ имеет уникальное решение для каждого вектора q тогда и только тогда, когда M является P-матрицей.^[2] Это означает, что если M является P-матрицей, то M является Q-матрицей.

Если Матрица Якоби функции является P-матрицей, то функция инъективна в любой прямоугольной области ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.^[3]

Связанный класс, который представляет интерес, особенно с точки зрения стабильности, это класс ${\displaystyle P^{(-)}}$-матриц, иногда также называемых ${\displaystyle N-P}$-матрицами. Матрица A является ${\displaystyle P^{(-)}}$-матрицей тогда и только тогда, когда ${\displaystyle (-A)}$ является P-матрицей (аналогично для ${\displaystyle P_{0}}$-матриц). Поскольку ${\displaystyle \sigma (A)=-\sigma (-A)}$, собственные значения этих матриц ограничены от положительной вещественной оси.

Литература

• Csizmadia, Zsolt; Illés, Tibor (2006). "New criss-cross type algorithms for linear complementarity problems with sufficient matrices" (pdf). Optimization Methods and Software. 21 (2): 247—266. doi:10.1080/10556780500095009. MR 2195759.
• David Gale and Hukukane Nikaido, The Jacobian matrix and global univalence of mappings, Math. Ann. 159:81-93 (1965) doi:10.1007/BF01360282
• Li Fang, On the Spectra of P- and ${\displaystyle P_{0}}$-Matrices, Linear Algebra and its Applications 119:1-25 (1989)
• R. B. Kellogg, On complex eigenvalues of M and P matrices, Numer. Math. 19:170-175 (1972)

1. Csizmadia, Zsolt; Illés, Tibor (2006). "New criss-cross type algorithms for linear complementarity problems with sufficient matrices" (pdf). Optimization Methods and Software. 21 (2): 247—266. doi:10.1080/10556780500095009. MR 2195759.
2. Murty, Katta G. (January 1972). "On the number of solutions to the complementarity problem and spanning properties of complementary cones" (PDF). Linear Algebra and its Applications. 5 (1): 65—108. doi:10.1016/0024-3795(72)90019-5. hdl:2027.42/34188.
3. Gale, David; Nikaido, Hukukane (10 December 2013). "The Jacobian matrix and global univalence of mappings". Mathematische Annalen. 159 (2): 81—93. doi:10.1007/BF01360282.