функция, определённая на множестве неотрицательных целых чисел Из Википедии, свободной энциклопедии
Факториа́л — функция, определённая на множестве неотрицательных целых чисел. Название происходит от лат.factorialis — действующий, производящий, умножающий; обозначается , произносится эн факториа́л. Факториал натурального числа определяется как произведение всех натуральных чисел от 1 до включительно:
.
Например,
.
Для принимается в качестве соглашения, что:
.
Подробнее n, n! ...
Факториалы всех чисел составляют последовательность A000142 в OEIS
Факториал является чрезвычайно быстро растущей функцией. Он растёт быстрее, чем любая показательная функция или любая степенная функция, а также быстрее, чем любая сумма произведений этих функций. Однако степенно-показательная функция растёт быстрее факториала, так же как и большинство двойных степенных, например .
Комбинаторная интерпретация факториала подтверждает целесообразность соглашения — количество перестановок пустого множества равно единице. Кроме того, формула для числа размещений из элементов по
при обращается в формулу для числа перестановок из элементов (порядка ), которое равно .
Во многих случаях для приближённого вычисления факториала достаточно рассматривать только главный член формулы Стирлинга:
При этом можно утверждать, что
Формула Стирлинга позволяет получить приближённые значения факториалов больших чисел без непосредственного перемножения последовательности натуральных чисел. Например, с помощью формулы Стирлинга легко подсчитать, что:
100! ≈ 9,33×10157
1000! ≈ 4,02×102567
10 000! ≈ 2,85×1035 659
Разложение на простые множители
Каждое простое числоp входит в разложениеn! на простые множители в степени определяемой следующей формулой:
Таким образом,
где произведение берётся по всем простым числам. Можно заметить, что для всякого простого p большего n соответствующий множитель в произведении равен 1; следовательно, произведение можно брать лишь по простым p, не превосходящим n.
Факториальные выражения появились ещё в ранних исследованиях по комбинаторике, хотя компактное обозначение предложил французский математик Кристиан Крамп только в 1808 году[2]. Важным этапом стало открытие формулы Стирлинга, которую Джеймс Стирлинг опубликовал в своём трактате «Дифференциальный метод» (лат.Methodus differentialis, 1730 год). Немного ранее почти такую же формулу опубликовал друг Стирлинга Абрахам де Муавр, но в менее завершённом виде (вместо коэффициента была неопределённая константа)[3].
Стирлинг подробно исследовал свойства факториала, вплоть до выяснения вопроса о том, нельзя ли распространить это понятие на произвольные вещественные числа. Он описал несколько возможных путей к реализации этой идеи и высказал мнение, что:
Стирлинг не знал, что годом ранее решение проблемы уже нашёл Леонард Эйлер. В письме к Кристиану Гольдбаху Эйлер описал требуемое обобщение[4]:
Развивая эту идею, Эйлер в следующем, 1730 году, ввёл понятие гамма-функции в виде классического интеграла. Эти результаты он опубликовал в журнале Петербургской академии наук в 1729—1730 годах.
Двойной факториал числа n обозначается n‼ и определяется как произведение всех натуральных чисел в отрезке [1,n], имеющих ту же чётность, что и n.
Для чётного n:
Для нечётного n:
Связь между двойными факториалами двух соседних целых неотрицательных чисел и обычным факториалом одного из них.
Вывод формул
Формула для чётного n:
Выведение формулы:
Пример, иллюстрирующий использованное выше выведение формулы:
Формула для нечётного n:
Выведение формулы:
Таким образом можно показать связь между двойными факториалами двух соседних неотрицательных целых чисел через обычный факториал одного из них. Далее продолжим выведение формулы для двойного факториала нечётного n. Вернёмся на шаг назад (до возникновения в явном виде (n-1)!!) и осуществим некоторые тождественные алгебраические преобразования над знаменателем:
Подставим полученное выражение для знаменателя обратно в формулу для :
Пример, иллюстрирующий использованное выше выведение формулы:
Осуществив замену для чётного n и для нечётного n соответственно, где — целое неотрицательное число, получим:
для чётного числа:
для нечётного числа:
По договорённости: . Также это равенство выполняется естественным образом:
Двойной факториал, так же, как и обычный факториал, определён только для целых неотрицательных чисел.
Последовательность значений n!! начинается так[5]:
Произведение нескольких первых чисел Фибоначчи. Записывается n!F.
Например,: 6!F = .
Суперфакториалы
Нейл Слоан и Симон Плуффэ[англ.] в 1995 году определили суперфакториал как произведение первых n факториалов. Согласно этому определению, суперфакториал четырёх равен
(поскольку устоявшегося обозначения нет, используется функциональное).
В общем
Последовательность суперфакториалов чисел начинается так[9]:
Идея была обобщена в 2000 годуГенри Боттомли[англ.], что привело к гиперфакториалам (англ.Hyperfactorial), которые являются произведением первых n суперфакториалов. Последовательность гиперфакториалов чисел начинается так[10]:
Продолжая рекуррентно, можно определить факториал кратного уровня, или m-уровневый факториал числа n, как произведение (m − 1)-уровневых факториалов чисел от 1 до n, то есть
Pearson, Karl (1924), "Historical note on the origin of the normal curve of errors", Biometrika, 16: 402–404 [p. 403], doi:10.2307/2331714: «Стирлинг лишь показал, что арифметическая константа в формуле Муавра равна . Я считаю, что это не делает его автором теоремы»