Loading AI tools
понятие в теории категорий Из Википедии, свободной энциклопедии
Ядро в теории категорий — категорный эквивалент ядра гомоморфизма из общей алгебры; интуитивно, ядро морфизма — это «наиболее общий» морфизм , после которого применение даёт нулевой морфизм.
Пусть — категория с нулевыми морфизмами. Тогда ядро морфизма — это уравнитель его и нулевого морфизма . Более явно, выполняется следующее универсальное свойство:
Ядро — это морфизм , такой что:
Во многих категориях это определение ядра совпадает с обычным: если — гомоморфизм групп или модулей, то ядро в категорном смысле — это вложение ядра в алгебраическом смысле в прообраз.
Однако в категории моноидов ядра в категорном смысле аналогичны ядрам групп, поэтому определение ядра в теории моноидов немного отличается. В категории колец, наоборот, ядер в категорном смысле не существует вовсе, так как не существует нулевых морфизмов. Интерпретировать ядра моноидов и колец в теории категорий можно при помощи концепции пар ядер.
Двойственное к ядру понятие — коядро, то есть ядро морфизма — это его коядро в двойственной категории, и наоборот.
Каждое ядро, как и любой другой уравнитель, является мономорфизмом. Обратно, мономорфизм называется нормальным, если он является ядром другого морфизма. Категория называется нормальной, если любой мономорфизм в ней нормален.
В частности, абелевы категории являются нормальными. В этой ситуации, ядро коядра морфизма называется его образом[англ.]. При этом каждый мономорфизм является своим собственным образом.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.