Коядро

Коядро — теоретико-категорная конструкция, двойственная к ядру: ядро является подобъектом прообраза, а коядро — факторобъектом области прибытия. Интуитивно, при поиске решения уравнения ${\displaystyle f(x)=y}$ коядро определяет число ограничений, которым должен удовлетворять ${\displaystyle y}$, чтобы данное уравнение имело решение.

Формально, для категории ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ с нулевыми морфизмами коядро морфизма ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ определяется как коуравнитель его и нулевого морфизма ${\displaystyle \mathbf {0} \colon X\to Y}$. Более явно — выполняется следующее универсальное свойство: коядро ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ — это морфизм ${\displaystyle q\colon Y\to Q}$ такой, что:

• ${\displaystyle q\circ f}$ — нулевой морфизм из ${\displaystyle X}$ в ${\displaystyle Q}$;
• коммутативна диаграмма:

  

• для любого морфизма ${\displaystyle q':Y\to Q'}$, такого что ${\displaystyle q'\circ f}$ — нулевой существует единственный морфизм ${\displaystyle u:Q\to Q'}$, такой что коммутативна диаграмма:

  

Как и другие универсальные конструкции, коядро существует не всегда, но если существует, то определено с точностью до изоморфизма.

Как и любые коуравнители, коядро — всегда эпиморфизм. Обратно, эпиморфизм называется нормальным (иногда — конормальным), если он является коядром некоторого морфизма. Категория называется конормальной, если любой эпиморфизм в ней нормален.

В абелевой категории образ и кообраз морфизма задаются как:

${\displaystyle \mathrm {im} (f)=\ker(\mathrm {coker} f)}$

${\displaystyle \mathrm {coim} (f)=\mathrm {coker} (\ker f)}$.

В частности, любой эпиморфизм является своим собственным коядром.

Литература

• Маклейн С. Глава 2. Конструкции в категориях // Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — С. 43—67. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.

• Шульгейфер Е. Г. . Глава VII. Категории // Общая алгебра / Под общ. ред. Л. А. Скорнякова. — М.: Наука, 1991. — Т. 2. — С. 368—460. — 480 с. — (Справочная математическая библиотека). — 25 000 экз. — ISBN 5-9221-0400-4.