Ядро (алгебра)

У этого термина существуют и другие значения, см. Ядро.

Ядро в общей алгебре — характеристика отображения ${\displaystyle f\colon A\rightarrow B}$, обозначаемая ${\displaystyle \ker f}$, отражающая отличие ${\displaystyle f}$ от инъективного отображения, обычно — множество прообразов некоторого фиксированного (нулевого, единичного, нейтрального) элемента ${\displaystyle e}$. Конкретное определение может различаться, однако для инъективного отображения ${\displaystyle f}$ множество ${\displaystyle \ker f}$ всегда должно быть тривиально, то есть состоять из одного элемента (как правило, нейтрального элемента из ${\displaystyle A}$). Конструкция возникла как обобщение понятия ядра линейного отображения и естественным образом обобщена на отображения любых структур с нулём или нейтральным элементом.

Если множества ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ обладают некоторой структурой (например, являются группами или векторными пространствами), то ${\displaystyle \ker f}$ также должно обладать этой структурой, при этом различные формулировки основной теоремы о гомоморфизме связывают образ ${\displaystyle \mathrm {Im} \,f}$ и фактормножество ${\displaystyle A/\ker \,f}$.

Дальнейшее обобщение понятия осуществлено в теории категорий, в которой также используется двойственная конструкция — коядро.

Литература

• Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — Москва: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7.