Центр вписанной окружности

Центр вписанной окружности треугольника (инцентр) — одна из замечательных точек треугольника, точка пересечения биссектрис треугольника. Центр вписанной в треугольник окружности также иногда называют инцентром.

Центр вписанной окружности
Окружность, вписанная в треугольник ${\displaystyle ABC}$
Барицентрические координаты	${\displaystyle a:b:c}$
Трилинейные координаты	1:1:1
Код ЭЦТ	X(1)
Связанные точки
Изогонально сопряженная	она же
Изотомически сопряженная	центр антибиссектрис
Дополнительная[исп.]	центр Шпикера
Антидополнительная[исп.]	точка Нагеля
Медиафайлы на Викискладе

Традиционно обозначается латинской буквой ${\displaystyle I}$ (по первой букве английского слова "Incenter"). В энциклопедии центров треугольника зарегистрирован под символом ${\displaystyle X(1)}$.

Свойства

• Центр вписанной окружности треугольника находится на одинаковом расстоянии от всех сторон треугольника.

• Для треугольника ${\displaystyle \triangle ABC}$ со сторонами ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle c}$, противолежащими вершинам ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle C}$ соответственно, инцентр делит биссектрису угла ${\displaystyle A}$ в отношении:

  ${\displaystyle {\frac {b+c}{a}}}$.

Теорема трилистника

• Если продолжение биссектрисы угла ${\displaystyle B}$ пересекает описанную окружность ${\displaystyle \triangle ABC}$ в точке ${\displaystyle D}$, то выполняется равенство: ${\displaystyle DA=DC=DI=DJ}$, где ${\displaystyle J}$ — центр вневписанной окружности, касающейся стороны ${\displaystyle AC}$; это свойство инцентра известно как теорема трилистника (также — лемма о трезубце, теорема Клайнэра).

• Расстояние между инцентром ${\displaystyle I}$ и центром описанной окружности ${\displaystyle O}$ выражается формулой Эйлера:

  ${\displaystyle OI^{2}=R^{2}-2Rr}$,

где ${\displaystyle R}$ и ${\displaystyle r}$ — радиусы описанной и вписанной окружностей соответственно.

• Перпендикуляры, восставленные к сторонам треугольника в точках касания вневписанных окружностей, пересекаются в одной точке. Эта точка симметрична центру вписанной окружности относительно центра описанной окружности^[1].

• Инцентр можно найти как центр масс вершин треугольника если в каждую вершину поместить массу, равную длине противолежащей стороны (см. также Центр Шпикера).

• Инцентр данного треугольника является точкой Нагеля треугольника, образованного его 3 средними линиями (серединного треугольника).^[2]

Полувписанная окружность и центр гомотетии G для вписанной и описанной окружностей с радиусами соответственно r и R. Лемма Веррьера: Центр вписанной окружности лежит на отрезке, соединяющем точки касания сторон треугольника и окружности Веррьера (полувписанной окружности)

• Лемма Веррьера^[3]. Точки касания окружностей Веррьера (полувписанных окружностей) со сторонами лежат на прямой, которая проходит через центр вписанной окружности (инцентр) (См. серый рис. снизу).

• Теорема Ригби. Если к любой стороне остроугольного треугольника провести высоту и касающуюся ее с другой стороны вневписанную окружность, то точка касания последней с этой стороной, середина упомянутой высоты, а также инцентр лежат на одной прямой.^[4].

• • Из теоремы Ригби следует, что 3 отрезка, соединяющих середину каждой из 3 высот треугольника с точкой касания вневписанной окружности, проведенной к той же стороне, что и высота, пересекаются в инцентре.

Теорема Тебо 3

• Третья теорема Тебо. Пусть ${\displaystyle ABC}$ — произвольный треугольник, ${\displaystyle D}$ — произвольная точка на стороне ${\displaystyle BC}$, ${\displaystyle I_{1}}$ — центр окружности, касающейся отрезков ${\displaystyle AD,BD}$ и описанной около ${\displaystyle \Delta ABC}$ окружности, ${\displaystyle I_{2}}$ — центр окружности, касающейся отрезков ${\displaystyle CD,AD}$ и описанной около ${\displaystyle \Delta ABC}$ окружности. Тогда отрезок ${\displaystyle I_{1}I_{2}}$ проходит через точку ${\displaystyle I}$ — центр окружности, вписанной в ${\displaystyle \Delta ABC}$, и при этом ${\displaystyle I_{1}I:II_{2}=\operatorname {tg} ^{2}{\frac {\phi }{2}}}$, где ${\displaystyle \phi =\angle BDA}$.
• Слабая точка в треугольнике (weak point) та, у которой может найтись близнец с помощью её ортогонального сопряжения за пределы треугольника. Например, инцентр, Точка Нагеля и другие являются слабыми точками, ибо допускают получение аналогичных точек при их сопряжении за пределы треугольника.^[5].

См. также

• Ортоцентр
• Центроид
• Формула Эйлера
• Лемма о трезубце

Примечания

1. Мякишев А. Г. . Элементы геометрии треугольника. — М.: МЦНМО, 2002. — 32 с. — (Библиотека «Математическое просвещение». вып. 19). — ISBN 5-94057-048-8. — С. 11, п. 5.
2. Honsberger, R.. Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. Washington, DC: Math. Assoc. Amer. 1995. P. 51, Пункт (b).// https://b-ok.cc/book/447019/c8c303 Архивная копия от 14 июля 2020 на Wayback Machine
3. Ефремов Д. Новая геометрия треугольника. — Одесса, 1902. — С. 130. — 334 с. Архивировано 4 марта 2016 года.
4. Ross Honsberger, "3. An Unlikely Collinearity" in "Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry" (Washington, DC: The Mathematical Association of America, 1996, ISBN 978-0883856390), p. 30, Figure 34
5. Мякишев А. Прогулки по окружностям: от Эйлера до Тейлора// Математика. Все для учителя! № 6 (6). июнь. 2011. с. 11, правая колонка, 2-й абзац сверху// https://www.geometry.ru/persons/myakishev/papers/circles.pdf Архивная копия от 22 августа 2022 на Wayback Machine

Литература

• Факультативный курс по математике. 7-9 / Сост. И. Л. Никольская. — М.: Просвещение, 1991. — С. 88-90. — 383 с. — ISBN 5-09-001287-3.