Постоянная эластичность замещения

Постоянная эластичность замещения (англ. constant elasticity of substitution, CES) — свойство, которым может обладать производственная функция или функция полезности. Постоянство эластичности замещения означает, что эластичность пропорции аргументов функции по отношению к пропорции их предельных продуктов будет неизменной при любых значениях аргументов. Функции с постоянной эластичностью замещения иногда называют функциями CES или CES-функциями по английской аббревиатуре данного термина. Некоторые другие популярные производственные функции представляют собой частные или предельные случаи данной функции. Например, функция Кобба — Дугласа является функцией с единичной эластичностью замещения, а производственная функция Леонтьева — с нулевой эластичностью замещения.

Формальное определение

Однородная функция CES в дискретном случае имеет следующий вид:

${\displaystyle F(x_{1},...,x_{n})=A\left(\sum _{i}\alpha _{i}x_{i}^{\rho }\right)^{\frac {\beta }{\rho }}}$, где ${\displaystyle \sum _{i}\alpha _{i}=1}$, ${\displaystyle \alpha _{i}>0,A>0}$

Параметр ${\displaystyle \beta }$ определяет степень однородности, в частности при ${\displaystyle \beta =1}$ имеем линейно-однородную функцию.

Иногда используют также обобщённую неоднородную функцию CES (функцию Солоу):

${\displaystyle F(x_{1},...,x_{n})=A\left(\sum _{i}\alpha _{i}x_{i}^{\rho _{i}}\right)^{\beta }}$

Однородная функция CES в непрерывном случае имеет следующий вид:

${\displaystyle F(x)=\int _{0}^{1}\left(x_{i}^{\rho }\right)^{\frac {1}{\rho }}di}$

Здесь множество благ или факторов производства ${\displaystyle x}$ представляет собой единичный континуум.

Свойства и связь с другими функциями

Основное свойство данной функции — постоянная эластичность замещения. А именно, можно показать, что эластичность замещения для данной функции равна

${\displaystyle \sigma ={\frac {1}{1-\rho }}}$

Если ${\displaystyle \rho }$ стремится к нулю, то данная функция стремится к производственной функции Кобба-Дугласа, эластичность замещения которой как раз равна 1. Если ${\displaystyle \rho }$ стремится к бесконечности, то имеем функцию с нулевой эластичностью замещения — производственную функцию Леонтьева.

Использование

Функция полезности с постоянной эластичностью замещения используется в модели монополистической конкуренции Диксита — Стиглица — Кругмана. Модель позволяет анализировать рынки несовершенных субститутов. Она объясняет появление наценки, то есть превышение цены товара над предельными издержками. В предельном случае, когда параметр функции стремится к единице, эластичность становится равной бесконечности. При этом модель описывает совершенно конкурентный рынок.

См. также

• Эластичность замещения
• Производственная функция
• Функция Кобба — Дугласа