Функция Леонтьева

В экономической теории функция Леонтьева — производственная функция (либо функция полезности), в которой факторы производства использованы в фиксированных пропорциях, поскольку факторы являются абсолютными комплементами. Функция названа в честь американского экономиста российского происхождения Василия Леонтьева. Функция Леонтьева является предельным случаем Функции CES — класса функций, обладающих свойством постоянной эластичности замещения.

Функция Леонтьева с двумя аргументами. Отмечены изокванты

В простейшем случае с двумя факторами производства имеем

${\displaystyle q={\text{Min}}\left({\frac {z_{1}}{a}},{\frac {z_{2}}{b}}\right)}$

где q есть количество продукции, z₁ и z₂ — количество затраченных факторов производства, a и b — определяемые технологией постоянные величины.

Пример применения

Предположим, что есть два фактора производства, «шины» и «рули». Фирма производит четырёхколёсные автомобили. В приведённой выше формуле величина q будет соответствовать количеству выпущенных машин, z₁ и z₂ — количеству использованных в производстве шин и рулей соответственно. Тогда функция Леонтьева принимает вид

Количество машин= Min{¼ от количества шин, 1 от количества рулей}.

Производственная функция

Функция Леонтьева используется в качестве производственной функции в модели Харрода — Домара^[1][2]:

${\displaystyle Y_{t}=min(AK_{t},BL_{t})}$,

где ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ — экзогенные производственные параметры, ${\displaystyle K}$ — капитал, ${\displaystyle L}$ — труд.

Производственная функция Леонтьева

Модель Харрода-Домара

Р. Барро и Х. Сала-и-Мартин отмечают, что производственная функция Леонтьева (функция с фиксированными пропорциями) является частным случаем CES-функции^[3]:

${\displaystyle Y=A{\cdot }{\Big (}\alpha K^{\Psi }+(1-\alpha )L^{\Psi }{\Big )}^{\frac {\nu }{\Psi }}}$

в случае когда ${\displaystyle \Psi \to -\infty }$ она принимает вид функции Леонтьева:

${\displaystyle Y=F(L,K)=min(AK,BL)}$,

где ${\displaystyle A>0}$ и ${\displaystyle B>0}$ — константы.

Таким образом, при ${\displaystyle AK=BL}$ — все работники и машины загружены; при ${\displaystyle AK>BL}$ — капитал используется в объёме ${\displaystyle (B/A)L}$, а оставшийся не востребован; при ${\displaystyle AK<BL}$ — объём труда используется в объеме ${\displaystyle (A/B)K}$, а остальной остается безработным. Допущение об отсутствии взаимозаменяемости между капиталом и трудом приводит к тому, что существует или бесконечный рост безработицы или простой оборудования.

При подушевом рассмотрении производственная функция имеет вид^[3]:

${\displaystyle y=min(Ak,B)}$,

где ${\displaystyle y=Y/L}$, ${\displaystyle k=K/L}$.

При ${\displaystyle k<B/A}$ капитал полностью используется и ${\displaystyle y=Ak}$, и кривая производственной функции пересекает ноль и имеет наклон ${\displaystyle A}$.

При ${\displaystyle k>B/A}$ капитал постоянен и ${\displaystyle Y=BL}$, ${\displaystyle y=B}$. При ${\displaystyle k\to \infty }$ предельный продукт ${\displaystyle f^{'}(k)=0}$, а значит условие Инады выполнено, производственная функция не генерирует эндогенный рост.

При ${\displaystyle k<B/A}$ форма кривой сбережения ${\displaystyle sf(k)/k}$ — прямая на уровне ${\displaystyle sA}$, а при ${\displaystyle k>B/A}$ кривая сбережения стремится к нулю при ${\displaystyle k\to \infty }$.

Кривая амортизация ${\displaystyle (n+\delta )}$ имеет форму горизонтальной прямой на уровне ${\displaystyle (n+\delta )}$.

При низкой ставке сбережения ${\displaystyle sA<n+\delta }$ кривая сбережения не пересекает кривую амортизации, так что стационарного состояния ${\displaystyle k^{*}}$ нет, темп прироста капитала отрицателен, экономика сжимается ${\displaystyle k,y,c\to \infty }$, в ней постоянно растущая безработица.

При высокой ставке сбережения ${\displaystyle sA>n+\delta }$ кривая сбережения приближается к нулю при ${\displaystyle k\to \infty }$ и пересекает кривую амортизации в точке устойчивого стационарного значения ${\displaystyle k^{*}>B/A>}$, так что темп прироста капитала отрицателен при ${\displaystyle k>k^{*}}$, а при ${\displaystyle k<k^{*}}$ положителен. При ${\displaystyle k^{>}*B/A}$ простаивает оборудование, часть капитала не востребована и монотонно возрастает, но при этом нет незанятых работников. Так как ${\displaystyle k}$ — константа в стационарном состоянии, то темп роста ${\displaystyle K}$ равен темпу роста ${\displaystyle L}$ и равен ${\displaystyle n}$. Доля используемого оборудования постоянна, количество невостребованного оборудования растет с темпом ${\displaystyle n}$. Стационарное состояние, в котором капитал и труд полностью востребованы в производстве, ${\displaystyle sA=n+\delta }$^[3].

См. также

• Функция Кобба — Дугласа
• Изокванта

Примечания

1. Solow, 1956.
2. Нуреев, 2008, с. 26—29.
3. Барро, Сала-и-Мартин, 2010, с. 97—100.

Литература

• Solow R. M. A Contribution to the Theory of Economic Growth // The Quarterly Journal of Economics. — 1956. — Февраль (vol. 70, № 1). — P. 65—94.
• Allen R. G. D. Macro-economic Theory: A Mathematical Treatment (англ.). — London: Macmillan, 1968. — P. 35.
• Барро Р. Д., Сала-и-Мартин Х. Экономический рост / Пер. с англ.. — М.: Бином. Лаборатория знаний, 2010. — 824 с. — ISBN 978-5-94774-790-4.
• Нуреев Р. М. Экономика развития: модели становления рыночной экономики. — М.: НОРМА, 2008. — 367 с. — ISBN 978-5-468-00159-2.