Уравнение Эйлера — Лагранжа

Уравне́ния Э́йлера — Лагра́нжа (в физике также уравнения Лагранжа — Эйлера, или уравнения Лагранжа) являются основными формулами вариационного исчисления, c помощью которых ищутся стационарные точки и экстремумы функционалов. В частности, эти уравнения широко используются в задачах оптимизации и совместно с принципом стационарности действия используются для вычисления траекторий в механике. В теоретической физике вообще это (классические) уравнения движения в контексте получения их из написанного явно выражения для действия (лагранжиана).

Использование уравнений Эйлера — Лагранжа для нахождения экстремума функционала в некотором смысле аналогично использованию теоремы дифференциального исчисления, утверждающей, что лишь в точке, где первая производная функции обращается в ноль, гладкая функция может иметь экстремум (в случае векторного аргумента приравнивается нулю градиент функции, то есть производная по векторному аргументу). Точнее говоря, это прямое обобщение соответствующей формулы на случай функционалов — функций бесконечномерного аргумента.

Уравнения были получены Леонардом Эйлером и Жозефом-Луи Лагранжем в 1750-х годах.

Формулировка

Пусть задан функционал

${\displaystyle J(f)=\int \limits _{a}^{b}F(x,f(x),f'(x))\,dx}$

на пространстве гладких функций ${\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }$, где через ${\displaystyle f'}$ обозначена первая производная ${\displaystyle f}$ по ${\displaystyle x}$.

Предположим, что подынтегральная функция ${\displaystyle F(x,f(x),f'(x))}$, дважды непрерывно дифференцируема. Функция ${\displaystyle F}$ называется функцией Лагранжа, или лагранжианом.

Если функционал ${\displaystyle J}$ достигает экстремума на некоторой функции ${\displaystyle f}$, то для неё должно выполняться обыкновенное дифференциальное уравнение

${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial f}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial F}{\partial f'}}=0,}$

которое называется уравнением Эйлера — Лагранжа.

Примеры

Рассмотрим стандартный пример: найти кратчайший путь между двумя точками плоскости. Ответом, очевидно, является отрезок, соединяющий эти точки. Попробуем получить его с помощью уравнения Эйлера — Лагранжа в предположении, что кратчайший путь существует и является гладкой кривой.

Пусть точки, которые надо соединить, имеют координаты ${\displaystyle (a,c)}$ и ${\displaystyle (b,d)}$. Тогда длина пути ${\displaystyle y(x)}$, соединяющего эти точки, может быть записана следующим образом:

${\displaystyle L=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}dx.}$

Уравнение Эйлера — Лагранжа для этого функционала принимает вид:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}{\frac {\partial }{\partial y'}}{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}=0,}$

откуда получаем, что

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=C\Rightarrow y=Cx+D.}$

Таким образом, получаем прямую линию. Учитывая, что ${\displaystyle y(a)=c}$, ${\displaystyle y(b)=d}$, т. е. что она проходит через исходные точки, получаем верный ответ: отрезок прямой, соединяющий точки.

Многомерные вариации

Существует также множество многомерных вариантов уравнений Эйлера — Лагранжа.

• Если ${\displaystyle q(t)}$ — путь в ${\displaystyle n}$-мерном пространстве, то он доставляет экстремум функционалу

${\displaystyle J=\int \limits _{t1}^{t2}L(t,q(t),q'(t))\,dt}$

только если удовлетворяет условию

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial q'_{k}}}-{\frac {\partial L}{\partial q_{k}}}=0}$ ${\displaystyle \forall k=1,2,\dots n}$

В физических приложениях, когда ${\displaystyle L}$ является лагранжианом (имеется в виду лагранжиан некоторой физической системы; то есть если J — действие для этой системы), эти уравнения — (классические) уравнения движения такой системы. Это утверждение может быть прямо обобщено и на случай бесконечномерного q.

• Другое многомерное обобщение получается при рассмотрении функции ${\displaystyle n}$ переменных. Если ${\displaystyle \Omega }$ — какая-либо (в данном случае n-мерная) поверхность, то

${\displaystyle J=\int \limits _{\Omega }L(f,x_{1},\dots ,x_{n},f_{x_{1}},\dots ,f_{x_{n}})\,d\Omega ,}$

где ${\displaystyle x_{i}=x_{1},x_{2},x_{3},\dots ,x_{n}}$ — независимые координаты, ${\displaystyle f=f(x_{1},x_{2},x_{3},\dots ,x_{n})}$, ${\displaystyle f_{x_{i}}\equiv {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}}$,

доставляет экстремум, если только ${\displaystyle f}$ удовлетворяет уравнению в частных производных

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial f}}-\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\frac {\partial L}{\partial f_{x_{i}}}}=0.}$

Если ${\displaystyle n=2}$ и ${\displaystyle L}$ — функционал энергии, то эта задача называется «минимизацией поверхности мыльной плёнки».

• Очевидная комбинация двух описанных выше случаев используется для получения уравнений движения распределенных систем, таких как физические поля, колеблющиеся струны или мембраны и т.п.

В частности, вместо статического уравнения равновесия мыльной плёнки, приведённого в качестве примера в предыдущем пункте, имеем в этом случае динамическое уравнение движения такой плёнки (если, конечно, нам удалось изначально записать для неё действие, то есть кинетическую и потенциальную энергию).

История

Уравнение Эйлера — Лагранжа было получено в 1750-х годах Эйлером и Лагранжем при решении задачи об изохроне. Это проблема определения кривой, по которой тяжёлая частица попадает в фиксированную точку за фиксированное время, независимо от начальной точки.

Лагранж решил эту задачу в 1755 году и отослал решение Эйлеру. Развитый впоследствии метод Лагранжа и применение его в механике привело к формулировке лагранжевой механики. Переписка учёных привела к созданию вариационного исчисления (термин предложил Эйлер в 1766 году).

Доказательство

Вывод одномерного уравнения Эйлера — Лагранжа является одним из классических доказательств в математике. Оно основывается на основной лемме вариационного исчисления.

Мы хотим найти такую функцию ${\displaystyle f}$, которая удовлетворяет граничным условиям ${\displaystyle f(a)=c}$, ${\displaystyle f(b)=d}$ и доставляет экстремум функционалу

${\displaystyle J=\int \limits _{a}^{b}F(x,f(x),f'(x))\,dx.}$

Предположим, что ${\displaystyle F}$ имеет непрерывные первые производные. Достаточно и более слабых условий, но доказательство для общего случая более сложно.

Если ${\displaystyle f}$ даёт экстремум функционалу и удовлетворяет граничным условиям, то любое слабое возмущение ${\displaystyle f}$, которое сохраняет граничные условия, должно увеличивать значение ${\displaystyle J}$ (если ${\displaystyle f}$ минимизирует его) или уменьшать ${\displaystyle J}$ (если ${\displaystyle f}$ максимизирует).

Пусть ${\displaystyle \eta (x)}$ — любая дифференцируемая функция, удовлетворяющая условию ${\displaystyle \eta (a)=\eta (b)=0}$. Определим

${\displaystyle J(\varepsilon )=\int \limits _{a}^{b}F(x,f(x)+\varepsilon \eta (x),f'(x)+\varepsilon \eta '(x))\,dx.}$

где ${\displaystyle \varepsilon }$ — произвольный параметр.

Поскольку ${\displaystyle f}$ даёт экстремум для ${\displaystyle J(0)}$, то ${\displaystyle J'(0)=0}$, то есть

${\displaystyle J'(0)=\int \limits _{a}^{b}\left[\eta (x){\frac {\partial F}{\partial f}}+\eta '(x){\frac {\partial F}{\partial f'}}\right]\,dx=0.}$

Интегрируя по частям второе слагаемое, находим, что

${\displaystyle 0=\int \limits _{a}^{b}\left[{\frac {\partial F}{\partial f}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial F}{\partial f'}}\right]\eta (x)\,dx+\left[\eta (x){\frac {\partial F}{\partial f'}}\right]_{a}^{b}.}$

Используя граничные условия на ${\displaystyle \eta }$, получим

${\displaystyle 0=\int \limits _{a}^{b}\left[{\frac {\partial F}{\partial f}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial F}{\partial f'}}\right]\eta (x)\,dx.}$

Отсюда, так как ${\displaystyle \eta (x)}$ — любая, следует уравнение Эйлера — Лагранжа:

${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial f}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial F}{\partial f'}}=0.}$

Если не вводить граничные условия на ${\displaystyle f(x)}$, то также требуются условия трансверсальности:

${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial f'}}(a,f(a),f'(a))=0}$

${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial f'}}(b,f(b),f'(b))=0}$

Обобщение на случай с высшими производными

Лагранжиан может также зависеть и от производных ${\displaystyle f}$ порядка выше, чем первый.

Пусть функционал, экстремум которого нужно найти, задан в виде:

${\displaystyle J=\int \limits _{a}^{b}F(x,f(x),f'(x),f''(x),...,f^{(n)}(x))\,dx.}$

Если наложить граничные условия на ${\displaystyle f}$ и на её производные до порядка ${\displaystyle n-1}$ включительно, а также предположить, что ${\displaystyle F}$ имеет непрерывные частные производные порядка ${\displaystyle 2n}$ ^[1], то можно, применяя интегрирование по частям несколько раз, вывести аналог уравнения Эйлера — Лагранжа и для этого случая:

${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial f}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial F}{\partial f'}}+{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}{\frac {\partial F}{\partial f''}}-\cdots +(-1)^{n}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}{\frac {\partial F}{\partial f^{(n)}}}=0.}$

Это уравнение часто называют уравнением Эйлера — Пуассона.

Два лагранжиана, отличающеся на полную производную, дадут одни и те же дифференциальные уравнения, однако максимальный порядок производных в этих лагранжианах может быть различный. Например, ${\displaystyle L_{1}=(f^{\prime }(x))^{2}~,~L_{2}=-f(x)f^{\prime \prime }(x)~,~L_{1}-L_{2}={\frac {d}{dx}}(f(x)f^{\prime }(x))}$. Чтобы получить дифференциальное уравнение на экстремум, к ${\displaystyle L_{1}}$ достаточно применить «обычное» уравнение Эйлера — Лагранжа, а для ${\displaystyle L_{2}}$, поскольку он зависит от второй производной, нужно использовать уравнение Эйлера — Пуассона с соответствующим слагаемым:

${\displaystyle {\frac {\partial L_{1}}{\partial f}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L_{1}}{\partial f'}}=-2f^{\prime \prime }(x),}$

${\displaystyle {\frac {\partial L_{2}}{\partial f}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L_{2}}{\partial f'}}+{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}{\frac {\partial L_{2}}{\partial f^{\prime \prime }}}=-2f^{\prime \prime }(x),}$

и в обоих случаях получится одно и то же дифференциальное уравнение ${\displaystyle -2f^{\prime \prime }(x)=0}$.