Треугольная матрица

Треуго́льная ма́трица — в линейной алгебре квадратная матрица, у которой все элементы, стоящие ниже (или выше) главной диагонали, равны нулю.

Пример верхней треугольной матрицы

Основные определения

Верхняя треугольная матрица (или верхнетреугольная матрица) — квадратная матрица ${\displaystyle A}$, у которой все элементы ниже главной диагонали равны нулю: ${\displaystyle a_{ij}=0}$ при ${\displaystyle i>j}$^[1][2]

Нижняя треугольная матрица (или нижнетреугольная матрица) — квадратная матрица ${\displaystyle A}$, у которой все элементы выше главной диагонали равны нулю: ${\displaystyle a_{ij}=0}$ при ${\displaystyle i<j}$^[1][2].

Унитреугольная матрица (верхняя или нижняя) — треугольная матрица ${\displaystyle A}$, в которой все элементы на главной диагонали равны единице: ${\displaystyle a_{jj}=1}$^[3].

Диагональная матрица является одновременно и верхней треугольной, и нижней треугольной^[4].

Применение

Треугольные матрицы используются в первую очередь при решении систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Например, метод Гаусса решения СЛАУ основан на следующем результате^[5]:

• любую матрицу ${\displaystyle A_{n\times n}}$ путём элементарных преобразований над строками и перестановок строк можно привести к треугольному виду.

Тем самым решение исходной СЛАУ сводится к решению системы линейных уравнений с треугольной матрицей коэффициентов, что не представляет сложностей.

Существуют вариант этого метода (называемый компактной схемой метода Гаусса), основанный на следующих результатах^[6]:

• любую квадратную матрицу ${\displaystyle A}$ с отличными от нуля ведущими главными минорами можно представить в виде произведения нижней треугольной матрицы ${\displaystyle L}$ и верхней треугольной матрицы ${\displaystyle U}$: ${\displaystyle A=LU}$ (см. LU-разложение), причём такое разложение единственно, если диагональные элементы одной из двух треугольных матриц заранее зафиксированы — например, можно потребовать, чтобы ${\displaystyle L}$ была унитреугольной;
• любую невырожденную квадратную матрицу ${\displaystyle A}$ можно представить в следующем виде: ${\displaystyle PA=LU}$, где ${\displaystyle P}$ — матрица перестановок (выбирается в процессе построения разложения) (см. LUP-разложение).

Свойства

• Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов её главной диагонали^[7] (в частности, определитель унитреугольной матрицы равен единице).
• Множество невырожденных верхних треугольных матриц порядка n по умножению с элементами из поля k образует группу^[4], которая обозначается UT(n, k) или UT_n (k).
• Множество невырожденных нижних треугольных матриц порядка n по умножению с элементами из поля k образует группу^[4], которая обозначается LT(n, k) или LT_n (k).
• Множество верхних унитреугольных матриц с элементами из поля k образует подгруппу UT_n (k) по умножению, которая обозначается SUT(n, k) или SUT_n (k). Аналогичная подгруппа нижних унитреугольных матриц обозначается SLT(n, k) или SLT_n (k).
• Множество всех верхних треугольных матриц с элементами из ассоциативного кольца k образует алгебру относительно операций сложения, умножения на элементы кольца и перемножения матриц. Аналогичное утверждение справедливо для нижних треугольных матриц.
• Группа UT_n разрешима, а её унитреугольная подгруппа SUT_n нильпотентна.

См. также

• Система линейных алгебраических уравнений
• Элементарные преобразования матрицы
• Единичная матрица
• Диагональная матрица

Примечания

1. Воеводин и Кузнецов, 1984, с. 27.
2. Икрамов, 1991, с. 9—10.
3. Икрамов, 1991, с. 10.
4. Гантмахер, 1988, с. 27.
5. Гантмахер, 1988, с. 42—43.
6. Воеводин и Кузнецов, 1984, с. 76, 174—175.
7. Воеводин и Кузнецов, 1984, с. 30.

Литература

• Воеводин В. В., Кузнецов Ю. А. . Матрицы и вычисления. — М.: Наука, 1984. — 320 с.
• Гантмахер Ф. Р. . Теория матриц. 4-е изд. — М.: Наука, 1988. — 552 с. — ISBN 5-02-013722-7.
• Икрамов Х. Д. . Несимметричная проблема собственных значений. Численные методы. — М.: Наука, 1991. — 240 с. — ISBN 5-02-014462-2.