Случайный процесс

Случа́йный проце́сс (вероятностный процесс, случайная функция, стохастический процесс) в теории вероятностей — семейство случайных величин, индексированных некоторым параметром, чаще всего играющим роль времени или координаты^[4][5][3].

Компьютерная реализация на поверхности сферы. Винеровский процесс считается наиболее изученным и центральным стохастическим процессом в теории вероятностей.^[1][2][3]

Определение

Пусть ${\displaystyle (E,{\mathfrak {B}})}$ — измеримое пространство, ${\displaystyle T}$ множество значений параметра ${\displaystyle t}$. Функция ${\displaystyle \xi =\xi (t)}$ параметра ${\displaystyle t\in T}$, значениями которой являются случайные величины ${\displaystyle \xi (t)=\xi (\omega ,t)}$ на пространстве элементарных событий ${\displaystyle (\Omega ,{\mathfrak {A}},\mathbb {P} )}$ в фазовом пространстве ${\displaystyle (E,{\mathfrak {B}})}$, называется случайным процессом в фазовом пространстве ${\displaystyle (E,{\mathfrak {B}})}$.^[6]

Терминология

Используемые в области исследований и прикладного применения случайных процессов классификация и терминология являются нестрогими. В частности, термин «случайный процесс» часто используется как безусловный синоним термина «случайная функция».^[7] В зависимости от вида множества ${\displaystyle T}$ часто применяются следующие термины.

• Если ${\displaystyle T\subset \mathbb {R} }$, то параметр ${\displaystyle t\in T}$ может интерпретироваться как время. Тогда случайная функция ${\displaystyle \{X_{t}\}}$ называется случайным процессом. Если множество ${\displaystyle T}$ дискретно, например ${\displaystyle T\subset \mathbb {N} }$, то такой случайный процесс называется случа́йной после́довательностью.

• Если ${\displaystyle T\subset \mathbb {R} ^{n}}$, где ${\displaystyle n\geqslant 1}$, то параметр ${\displaystyle t\in T}$ может интерпретироваться как точка в пространстве, и тогда случайную функцию называют случа́йным по́лем.

Основные сведения

Основной источник: ^[6]

Всевозможные совместные распределения вероятностей значений ${\displaystyle \xi (t_{1}),...,\xi (t_{n}),t_{1},...,t_{n}\in T}$:

${\displaystyle P_{t_{1}},...,_{t_{n}}(B_{1},...B_{n})=P\left\{\xi (t_{1})\in B_{1},...,\xi (t_{n})\in B_{n}\right\}(B_{1},...B_{n}\in {\mathfrak {B}})}$

называются конечномерными распределениями вероятностей случайного процесса ${\displaystyle \xi =\xi (t)}$.
Случайные процессы ${\displaystyle \xi =\xi (t)}$ и ${\displaystyle \eta =\eta (t)}$, принимающие значение в фазовом пространстве ${\displaystyle (E,{\mathfrak {B}})}$ называются эквивалентными, если при любом ${\displaystyle t\in T}$ эквивалентны соответствующие значения ${\displaystyle \xi (t)=\xi (\omega ,t)}$ и ${\displaystyle \eta (t)=\eta (\omega ,t)}$.

При каждом фиксированном ${\displaystyle \omega \in \Omega }$ функция ${\displaystyle \xi (t)=\xi (\omega ,t)}$ параметра ${\displaystyle t}$ со значениями в фазовом пространстве ${\displaystyle (E,{\mathfrak {B}})}$ называется реализацией или траекто́рией случайного процесса ${\displaystyle \xi =\xi (t)}$. Случайный процесс ${\displaystyle \xi =\xi (t)}$ называется непосредственно заданным, если каждый элементарный исход описывается соответствующей траекторией ${\displaystyle x=x(t)}$ в функциональном пространстве ${\displaystyle E=E^{T}}$ всех функций на множестве ${\displaystyle T}$ со значениями в фазовом пространстве ${\displaystyle (E,{\mathfrak {B}})}$ ; точнее, если ${\displaystyle \Omega =X}$ и ${\displaystyle \sigma }$-алгебра ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ порождается всевозможными цилиндрическими множествами ${\displaystyle {x(t_{1})\in B_{1},...,x(t_{n})\in B_{n}}}$, где ${\displaystyle t_{1},...,t_{n}\in T}$ и ${\displaystyle B_{1},...B_{n}\in {\mathfrak {B}}}$, а значения ${\displaystyle \xi (t)=\xi (x,t)}$ имеют вид ${\displaystyle \xi (x,t)=x(t)}$, ${\displaystyle x\in X}$. Любому случайному процессу можно поставить в соответствие непосредственно заданный случайный процесс с теми же самыми конечномерный распределениями. Для каждого согласованного семейства конечномерных распределений вероятностей ${\displaystyle P_{t_{1}},...,_{t_{n}}(B_{1},...B_{n})}$ (${\displaystyle t_{1},...,t_{n}\in T,B_{1},...B_{n}\in {\mathfrak {B}})}$ таких, что ${\displaystyle P_{t}=P_{t}(B),t\in T}$, являются плотными мерами в фазовом топологическом пространстве ${\displaystyle (E,{\mathfrak {B}})}$, существует непосредственно заданный случайный процесс ${\displaystyle \xi =\xi (t)}$ с такими же конечномерными распределениями вероятностей.

Ковариационная функция. Пусть ${\displaystyle \xi =\xi (t)}$ действительный или комплексный случайный процесс на множестве ${\displaystyle T}$, имеющий вторые моменты: ${\displaystyle E|\xi (t)|^{2}<\infty }$. Значения случайного процесса ${\displaystyle \xi =\xi (t)}$ можно рассматривать как элементы гильбертова пространства ${\displaystyle L^{2}(\Omega )}$ — пространства всех случайных величин ${\displaystyle \eta }$, ${\displaystyle E|\eta (t)|^{2}<\infty }$, со скалярным произведением

${\displaystyle ({\eta }_{1},{\eta }_{2})=E{\eta }_{1}{\overline {\eta }}_{2}}$.

Важнейшими характеристиками такого случайного процесса ${\displaystyle \xi (t)}$ являются его математическое ожидание

${\displaystyle A(t)=E\xi (t)=(\xi (t),1)}$

и ковариационная функция

${\displaystyle B(s,t)=E{\xi (s)}{\overline {\xi (t)}}=(\xi (s),\xi (t))}$.

Вместо ковариационной функции может применятся корреляционная функция ${\displaystyle B(s,t)=E{\xi (s)}{\overline {\xi (t)}}-A(s){\overline {A(t)}}}$, являющуюся ковариационной функцией процесса ${\displaystyle \xi (t)-A(t)}$ с нулевым математическим ожиданием.
При равенстве аргументов (${\displaystyle s=t}$) корреляционная функция равна дисперсии случайного процесса

${\displaystyle B(s,s)=E(\xi (s)-A(s))({\overline {\xi (s)-A(s)}})=D(s)}$.

Функция ${\displaystyle B(s,t)}$ двух переменных ${\displaystyle s}$ и ${\displaystyle t}$ является ковариационной функцией некоторого случайного процесса ${\displaystyle \xi (t)}$, ${\displaystyle E|\xi (t)|^{2}<\infty }$, тогда и только тогда, когда она для всех ${\displaystyle n=1,2,...}$ удовлетворяет следующему условию положительной определённости:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{B(t_{k},t_{j})c_{k}}{\overline {c_{j}}}\geqslant 0}$

для любых ${\displaystyle t_{1},t_{2},...t_{n}\in T}$ и любых комплексных чисел ${\displaystyle c_{1},c_{2}...,c_{n}}$.

Классификация

• Случайный процесс ${\displaystyle X(t)}$ называется процессом дискретным во времени, если система, в которой он протекает, меняет свои состояния только в моменты времени ${\displaystyle \;t_{1},t_{2},\ldots }$, число которых конечно или счётно. Случайный процесс называется процессом с непрерывным временем, если переход из состояния в состояние может происходить в любой момент времени.
• Случайный процесс называется процессом с непрерывными состояниями, если значением случайного процесса является непрерывная случайная величина. Случайный процесс называется случайным процессом с дискретными состояниями, если значением случайного процесса является дискретная случайная величина:
• Случайный процесс называется стационарным, если все многомерные законы распределения зависят только от взаимного расположения моментов времени ${\displaystyle \;t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n}}$, но не от самих значений этих величин. Другими словами, случайный процесс называется стационарным, если его вероятностные закономерности неизменны во времени. В противном случае, он называется нестационарным.
• Случайная функция называется стационарной в широком смысле, если её математическое ожидание и дисперсия постоянны, а АКФ зависит только от разности моментов времени, для которых взяты ординаты случайной функции. Понятие ввёл А. Я. Хинчин.
• Случайный процесс называется процессом со стационарными приращениями определённого порядка, если вероятностные закономерности такого приращения неизменны во времени. Такие процессы были рассмотрены Ягломом^[8].
• Если ординаты случайной функции подчиняются нормальному закону распределения, то и сама функция называется нормальной.
• Случайные функции, закон распределения ординат которых в будущий момент времени полностью определяется значением ординаты процесса в настоящий момент времени и не зависит от значений ординат процесса в предыдущие моменты времени, называются марковскими.
• Случайный процесс называется процессом с независимыми приращениями, если для любого набора ${\displaystyle t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n}}$, где ${\displaystyle n>2}$, а ${\displaystyle t_{1}<t_{2}<\ldots <t_{n}}$, случайные величины ${\displaystyle (X_{t_{2}}-X_{t_{1}})}$, ${\displaystyle (X_{t_{3}}-X_{t_{2}})}$, ${\displaystyle \ldots }$, ${\displaystyle (X_{t_{n}}-X_{t_{n-1}})}$ независимы в совокупности.
• Если при определении моментных функций стационарного случайного процесса операцию усреднения по статистическому ансамблю можно заменить усреднением по времени, то такой стационарный случайный процесс называется эргодическим.
• Среди случайных процессов выделяют импульсные случайные процессы.
• Ветвящийся случайный процесс может описывать явления, связанные с размножением, делением или превращениями объектов.

Примеры

• ${\displaystyle \{X_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$, где ${\displaystyle \;X_{i}\sim \mathrm {N} (0,1)}$ называется стандартной гауссовской (нормальной) случайной последовательностью.
• Пусть ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$, и ${\displaystyle Y}$ — случайная величина. Тогда ${\displaystyle X_{t}(\omega )=f(t)\cdot Y(\omega )}$ является случайным процессом.
• Пусть ${\displaystyle \{\xi _{n},n\in \mathbb {N} \}}$ — н.о.р.с.в., неотрицательные и невырожденные (${\displaystyle \not =const}$ п.н.). ${\displaystyle S_{0}:=0,S_{n}:=\xi _{1}+\dots +\xi _{n}}$. Тогда процесс ${\displaystyle X_{t}=\sup\{n:S_{n}\leq t\},t\geq 0}$ называется процессом восстановления, построенным по ${\displaystyle \{\xi _{n},n\in \mathbb {N} \}}$.

См. также

• Случайная величина
• Цепь Маркова
• Марковский процесс
• Немарковский процесс

Примечания

1. Joseph L. Doob. Stochastic Processes. — Wiley, 1962. — 676 с.
2. L. C. G. Rogers, David Williams. Diffusions, Markov Processes, and Martingales: Volume 1, Foundations. — Cambridge University Press, 2000-04-13. — 412 с. — ISBN 978-1-107-71749-7.
3. J. Michael Steele. Stochastic Calculus and Financial Applications. — Springer Science & Business Media, 2012-12-06. — 303 с. — ISBN 978-1-4684-9305-4.
4. Emanuel Parzen. Stochastic Processes. — Courier Dover Publications, 2015-06-17. — 340 с. — ISBN 978-0-486-79688-8.
5. Iosif Il?ich Gikhman, Anatoli? Vladimirovich Skorokhod. Introduction to the Theory of Random Processes. — Courier Corporation, 1996-01-01. — 548 с. — ISBN 978-0-486-69387-3.
6. Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А. Теория вероятностей (Основные понятия. Предельные теоремы. Случайные процессы) — М.: Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1973. — 496 стр.
7. Случайная функция  (неопр.). www.booksite.ru. Дата обращения: 20 августа 2021. Архивировано 20 августа 2021 года.
8. Яглом А. М. Корреляционная теория процессов со случайными стационарными параметрическими приращениями // Математический сборник. Т. 37. Вып. 1. С. 141—197. — 1955.

Литература

• Свешников А. А. Прикладные методы теории случайных функций. — Гл.ред.физ.-мат.лит., 1968.
• Баскаков С. И. Радио/технические цепи и сигналы. — Высшая школа, 2000.
• Натан А. А., Горбачёв О. Г., Гуз С. А. Основы теории случайных процессов : учеб. пособие по курсу «Случайные процессы» — М.: МЗ Пресс — МФТИ, 2003. — 168 с. ISBN 5-94073-055-8.
• Вентцель Е. С., Овчаров Л. А. Теория случайных процессов и её инженерные приложения. — М.: Наука, 1991. — 384 с. — ISBN 5-02-014125-9.
• Куликов Е. И. Методы измерения случайных процессов. — М.: Радио и связь, 1986. — 272 с.
• Ралф Деч. Нелинейные преобразования случайных процессов. — М.: Советское радио, 19656. — 206 с.