Точка Шиффлера

Точка Шиффлера — замечательная точка треугольника, являющаяся пересечением прямых Эйлера четырёх треугольников ${\displaystyle \triangle ABC}$, ${\displaystyle \triangle ABI}$, ${\displaystyle \triangle AIC}$, ${\displaystyle \triangle IBC}$, где ${\displaystyle I}$ — инцентр ${\displaystyle \triangle ABC}$. Теорема Шиффлера утверждает, что эти четыре линии действительно пересекаются в одной точке.

Точка Шиффлера ${\displaystyle Sp}$ как точка пересечения прямых Эйлера трёх треугольников ${\displaystyle \triangle BCI}$, ${\displaystyle \triangle CAI}$ и ${\displaystyle \triangle ABI}$ (четвёртый треугольник не показан).

Трилинейные координаты точки Шиффлера имеют вид:

${\displaystyle \left[{\frac {1}{\cos B+\cos C}},{\frac {1}{\cos C+\cos A}},{\frac {1}{\cos A+\cos B}}\right]}$

или в эквивалентной записи через стороны:

${\displaystyle \left[{\frac {b+c-a}{b+c}},{\frac {c+a-b}{c+a}},{\frac {a+b-c}{a+b}}\right]}$

где через ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle c}$ обозначены длины сторон треугольника ${\displaystyle \triangle ABC}$.

Обнаружена немецким геометром-любителем Куртом Шиффлером^[нем.] в 1985 году. В «Энциклопедии центров треугольника» Кимберлинга идентифицируется как точка (центр) ${\displaystyle X(21)}$.

Литература

• Emelyanov, Lev; Emelyanova, Tatiana. A note on the Schiffler point (англ.) // Forum Geometricorum^[англ.]. — 2003. — Vol. 3. — P. 113—116.
• Емельянов Л. А. Точка Шиффлера: памяти И. Ф. Шарыгина // Математика в школе. — 2006. — Т. 6. — С. 58—60. — ISSN 0130-9358.
• Hatzipolakis, Antreas P.; van Lamoen, Floor; Wolk, Barry; Yiu, Paul. Concurrency of four Euler lines (англ.) // Forum Geometricorum. — 2001. — Vol. 1. — P. 59—68.
• Nguyen, Khoa Lu. On the complement of the Schiffler point (англ.) // Forum Geometricorum. — 2005. — Vol. 5. — P. 149—164.
• Schiffler, Kurt; Veldkamp, G. R.; van der Spek, W. A. Problem 1018 (англ.) // Crux Mathematicorum^[англ.]. — 1985. — Vol. 11. — P. 51. (решение — vol. 12, pp. 150—152).
• Thas, Charles. On the Schiffler center (англ.) // Forum Geometricorum. — 2004. — Vol. 4. — P. 85—95.