Тождество параллелограмма
одно из равенств в векторной алгебре и векторном анализе Из Википедии, свободной энциклопедии
Тождество параллелограмма — одно из равенств в векторной алгебре и векторном анализе.

В евклидовой геометрии
Сумма квадратов длин сторон параллелограмма равна сумме квадратов длин его диагоналей.
В пространствах со скалярным произведением

В векторных пространствах со скалярным произведением это тождество выглядит так[1]:
где
В нормированных пространствах (поляризационное тождество)
Суммиров вкратце
Перспектива
В нормированном пространстве (V, ), для которого справедливо тождество параллелограмма, можно ввести скалярное произведение , порождающее эту норму, то есть такое что всех векторов пространства . Эта теорема приписывается Фреше, фон Нейману и Йордану[2][3]. Это можно сделать следующем способом:
- для действительного пространства
- или или
- для комплексного пространства
Вышеуказанные формулы, выражающие скалярное произведение двух векторов в терминах нормы, называются поляризационным тождеством.
Очевидно, что норма, выраженная через любое скалярное произведение следующим образом , будет удовлетворять этому тождеству.
Поляризационное тождество часто используется для превращения банаховых пространств в гильбертовы.
Обобщение
Если B — симметричная билинейная форма в векторном пространстве, а квадратичная форма Q выражена как
- ,
тогда
См. также
- Теорема Эйлера о четырёхугольниках — обобщение тождества на случай произвольных четырёхугольников.
Примечания
Ссылки
Литература
Wikiwand - on
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.