Тождество параллелограмма

Тождество параллелограмма — одно из равенств в векторной алгебре и векторном анализе.

Параллелограмм

В евклидовой геометрии

Сумма квадратов длин сторон параллелограмма равна сумме квадратов длин его диагоналей.

${\displaystyle \ (AB)^{2}+(BC)^{2}+(CD)^{2}+(DA)^{2}=(AC)^{2}+(BD)^{2}.}$

В пространствах со скалярным произведением

Иллюстрация к тождеству параллелограмма

В векторных пространствах со скалярным произведением это тождество выглядит так^[1]:

${\displaystyle 2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}=\|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2},}$

где

${\displaystyle \|x\|^{2}=\langle x,x\rangle .}$

В нормированных пространствах (поляризационное тождество)

В нормированном пространстве (V, ${\displaystyle \|\cdot \|}$), для которого справедливо тождество параллелограмма, можно ввести скалярное произведение ${\displaystyle \langle x,\ y\rangle }$, порождающее эту норму, то есть такое что ${\displaystyle \|x\|^{2}=\langle x,\ x\rangle }$ всех векторов ${\displaystyle x}$ пространства ${\displaystyle V}$. Эта теорема приписывается Фреше, фон Нейману и Йордану^[2][3]. Это можно сделать следующем способом:

• для действительного пространства

  ${\displaystyle \langle x,y\rangle ={\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2} \over 4},}$ или ${\displaystyle {\|x+y\|^{2}-\|x\|^{2}-\|y\|^{2} \over 2},}$ или ${\displaystyle {\|x\|^{2}+\|y\|^{2}-\|x-y\|^{2} \over 2}.}$

• для комплексного пространства

  ${\displaystyle \langle x,y\rangle ={\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2} \over 4}+i{\|ix-y\|^{2}-\|ix+y\|^{2} \over 4}.}$

Вышеуказанные формулы, выражающие скалярное произведение двух векторов в терминах нормы, называются поляризационным тождеством.

Очевидно, что норма, выраженная через любое скалярное произведение следующим образом ${\displaystyle \ \|x\|^{2}=\langle x,x\rangle }$, будет удовлетворять этому тождеству.

Поляризационное тождество часто используется для превращения банаховых пространств в гильбертовы.

Обобщение

Если B — симметричная билинейная форма в векторном пространстве, а квадратичная форма Q выражена как

${\displaystyle \ Q(v)=B(v,v)}$,

тогда

${\displaystyle {\begin{array}{l}4B(u,v)=Q(u+v)-Q(u-v),\\2B(u,v)=Q(u+v)-Q(u)-Q(v),\\2B(u,v)=Q(u)+Q(v)-Q(u-v).\end{array}}}$

См. также

• Теорема Эйлера о четырёхугольниках — обобщение тождества на случай произвольных четырёхугольников.

Примечания

1. Шилов, 1961, с. 185.
2. Philippe Blanchard, Erwin Brüning. Proposition 14.1.2 (Fréchet–von Neumann–Jordan) // Mathematical methods in physics: distributions, Hilbert space operators, and variational methods (англ.). — Birkhäuser^[англ.], 2003. — P. 192. — ISBN 0817642285. Архивировано 19 августа 2017 года.
3. Gerald Teschl. Theorem 0.19 (Jordan–von Neumann) // Mathematical methods in quantum mechanics: with applications to Schrödinger operators (англ.). — American Mathematical Society Bookstore, 2009. — P. 19. — ISBN 0-8218-4660-4. Архивировано 6 мая 2021 года.

Ссылки

• Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве / Векторная алгебра (рус.)

Литература

• Шилов Г. Е. Математический анализ. Специальный курс. — М.: Наука, 1961. — 436 с.