Тождество параллелограмма

одно из равенств в векторной алгебре и векторном анализе Из Википедии, свободной энциклопедии

Тождество параллелограмма

Тождество параллелограмма — одно из равенств в векторной алгебре и векторном анализе.

Thumb
Параллелограмм

В евклидовой геометрии

Сумма квадратов длин сторон параллелограмма равна сумме квадратов длин его диагоналей.

В пространствах со скалярным произведением

Thumb
Иллюстрация к тождеству параллелограмма

В векторных пространствах со скалярным произведением это тождество выглядит так[1]:

где

В нормированных пространствах (поляризационное тождество)

Суммиров вкратце
Перспектива

В нормированном пространстве (V, ), для которого справедливо тождество параллелограмма, можно ввести скалярное произведение , порождающее эту норму, то есть такое что всех векторов пространства . Эта теорема приписывается Фреше, фон Нейману и Йордану[2][3]. Это можно сделать следующем способом:

  • для действительного пространства
    или или
  • для комплексного пространства

Вышеуказанные формулы, выражающие скалярное произведение двух векторов в терминах нормы, называются поляризационным тождеством.

Очевидно, что норма, выраженная через любое скалярное произведение следующим образом , будет удовлетворять этому тождеству.

Поляризационное тождество часто используется для превращения банаховых пространств в гильбертовы.

Обобщение

Если B — симметричная билинейная форма в векторном пространстве, а квадратичная форма Q выражена как

,

тогда

См. также

Примечания

Ссылки

Литература

Loading related searches...

Wikiwand - on

Seamless Wikipedia browsing. On steroids.