Теорема Эйлера о четырёхугольниках

Теорема Эйлера о четырёхугольниках (также закон Эйлера для четырёхугольников) — теорема планиметрии, названная в честь Леонарда Эйлера (1707—1783 гг.), которая описывает соотношение между сторонами выпуклого четырёхугольника и его диагоналями. Теорема является обобщением тождества параллелограмма, которое, в свою очередь, можно рассматривать как обобщение теоремы Пифагора; поэтому иногда используется название теорема Эйлера — Пифагора.

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=e^{2}+f^{2}+4g^{2}}$

Теорема и специальные случаи

Для выпуклого четырёхугольника со сторонами ${\displaystyle a,b,c,d}$ и диагоналями ${\displaystyle e}$ и ${\displaystyle f}$, середины которых соединены отрезком ${\displaystyle g}$, выполняется равенство:

$${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=e^{2}+f^{2}+4g^{2}}$$

Если четырёхугольник является параллелограммом, то средние точки диагоналей совпадают и соединяющий их отрезок ${\displaystyle g}$ имеет длину, равную 0. Кроме того, у параллелограмма длины параллельных сторон равны, так что в таком случае теорема Эйлера сводится к формуле:

$${\displaystyle 2a^{2}+2b^{2}=e^{2}+f^{2}}$$

каковая называется тождеством параллелограмма.

Если четырёхугольник является прямоугольником, то равенство ещё более упрощается, поскольку теперь две диагонали равны:

$${\displaystyle 2a^{2}+2b^{2}=2e^{2}}$$

Деление на 2 даёт теорему Эйлера — Пифагора:

$${\displaystyle a^{2}+b^{2}=e^{2}}$$

Другими словами: для прямоугольника отношение сторон четырёхугольника и его диагоналей описывается теоремой Пифагора^[1].

Альтернативные формулировки и расширения

Теорема Эйлера для параллелограмма

Эйлер вывел вышеописанную теорему как следствие другой теоремы, которая, с одной стороны, менее элегантна, так как требует добавления ещё одной точки, но, с другой стороны, даёт большее понимание свойств четырёхугольника.

Для заданного выпуклого четырёхугольника ${\displaystyle ABCD}$ Эйлер ввёл дополнительную точку ${\displaystyle E}$, такую, что ${\displaystyle ABED}$ образует параллелограмм; тогда выполняется следующее равенство:

$${\displaystyle |AB|^{2}+|BC|^{2}+|CD|^{2}+|AD|^{2}=|AC|^{2}+|BD|^{2}+|CE|^{2}}$$

Расстояние ${\displaystyle |CE|}$ между дополнительной точкой ${\displaystyle E}$ и точкой ${\displaystyle C}$ четырёхугольника, соответствует отрезку, который не являются частью параллелограмма. Длину этого отрезка можно рассматривать как меру отличия рассматриваемого четырёхугольника от параллелограмма, или, другими словами, как меру правильности члена ${\displaystyle |CE|^{2}}$ в исходном равенстве тождества параллелограмма^[2].

Поскольку точка ${\displaystyle M}$ является серединой отрезка ${\displaystyle AC}$, то получаем ${\displaystyle {\tfrac {|AC|}{|AM|}}=2}$. Точка ${\displaystyle N}$ является серединой отрезка ${\displaystyle BD}$, и она также является серединой отрезка ${\displaystyle AE}$, поскольку ${\displaystyle AE}$ и ${\displaystyle BD}$ являются диагоналями параллелограмма ${\displaystyle ABED}$. Отсюда получаем ${\displaystyle {\tfrac {|AE|}{|AN|}}=2}$, и, следовательно, ${\displaystyle {\tfrac {|AC|}{|AM|}}={\tfrac {|AE|}{|AN|}}}$. Из теоремы Фалеса (и обратной) следует, что ${\displaystyle CE}$ и ${\displaystyle NM}$ параллельны. Тогда ${\displaystyle |CE|^{2}=(2|NM|)^{2}=4|NM|^{2}}$, откуда и следует теорема Эйлера^[2].

Теорему Эйлера можно расширить на множество четырёхугольников, которое включает пересекающиеся и непланарные. Она выполняется для так называемых обобщённых четырёхугольников, которые состоят из четырёх произвольных точек в пространстве ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, связанных рёбрами с образованием графа-цикла^[3].