Течение Арнольда–Бельтрами–Чайлдресса

Течение Арнольда-Бельтрами-Чайлдресса (ABC) или течение Громеки-Арнольда-Бельтрами-Чайлдресса (GABC) представляет собой трёхмерное несжимаемое поле скоростей, которое является точным решением уравнения Эйлера. Его представление в декартовых координатах следующее:^[1][2]

${\displaystyle {\dot {x}}=A\sin z+C\cos y,}$

${\displaystyle {\dot {y}}=B\sin x+A\cos z,}$

${\displaystyle {\dot {z}}=C\sin y+B\cos x,}$

где ${\displaystyle ({\dot {x}},{\dot {y}},{\dot {z}})}$ является материальной производной лагранжева движения частицы жидкости, расположенной в точке ${\displaystyle (x(t),y(t),z(t))}$.

Этот поток ABC был проанализирован Dombre и др. в 1986, которые дали ему название ABC, потому что этот пример был независимо представлен Арнольдом (1965) и Чилдрессом (1970) как интересный класс потоков Бельтрами. Для некоторых значений параметров, например, ${\displaystyle A=B=0}$, этот поток очень прост, поскольку траектории частиц представляют собой винтовые линии. Однако при некоторых других значениях параметров эти потоки эргодичны и траектории частиц всюду плотны. Последний результат является контрпримером к некоторым утверждениям традиционных учебников по механике жидкости о том, что вихревые линии либо замкнуты, либо не могут заканчиваться в жидкости. То есть, поскольку для потоков ABC имеем ${\displaystyle \omega =\lambda v}$, вихревые линии совпадают с траекториями частиц и они также везде плотны для некоторых значений параметров A, B и C.^[3] Оно примечательно как простой пример потока жидкости, который может иметь хаотические траектории. Также оно является простым точным решением трёхмерных бессиловых уравнений равновесия плазмы.^[4]

Оно названо в честь Владимира Арнольда, Эухенио Бельтрами и Стивена Чайлдресса. Имя Ипполита С. Громеки (1881)^[5] исторически забыто, хотя большая часть обсуждений была сделана им первым.^[6]

См. также

• Течение Бельтрами^[англ.]

Ссылки

1. Xiao-Hua Zhao, Keng-Huat Kwek, Ji-Bin Li and Ke-Lei Huang. «Chaotic and Resonant Streamlines in the ABC Flow». SIAM Journal on Applied Mathematics. Vol. 53, No. 1 (Feb., 1993), pp. 71-77. Published by: Society for Industrial and Applied Mathematics.
2. T. Dombre, U. Frisch, J. M. Greene, M. Hénon, A. Mehr, and A. M. Soward (1986). «Chaotic streamlines in the ABC flows». Journal of Fluid Mechanics, 167, pp. 353—391 doi:10.1017/S0022112086002859
3. Andrew J. Majda, Andrea L. Bertozzi. Vorticity and Incompressible Flow. — 2002. — P. 60.
4. Y. Yamakoshi, K. Muto, and Z. Yoshida. Numerical analysis of quasiperiodic perturbations for the Alfvén wave : [англ.] // Physical Review E. — 1994. — Vol. 50. — P. 1437. — doi:10.1103/PhysRevE.50.1437.
5. Gromeka, I. «Some cases of incompressible fluid motion.» Scientific notes of the Kazan University (1881): 76-148.
6. Zermelo, Ernst. Ernst Zermelo-Collected Works/Gesammelte Werke: Volume I/Band I-Set Theory, Miscellanea/Mengenlehre, Varia. Vol. 21. Springer Science & Business Media, 2010.

• VI Арнольд . «Sur la topologie des Ecoulements Stationnaires de Fludes Parfaits». ЧР Акад. Науки. Париж , 261 :17-20, 1965.