Уравнение Эйлера

У этого термина существуют и другие значения, см. Список объектов, названных в честь Леонарда Эйлера#Уравнения.

Уравнение Эйлера — одно из основных уравнений гидродинамики идеальной жидкости. Названо в честь Л. Эйлера, получившего это уравнение в 1752 году (опубликовано в 1757 году). По своей сути является уравнением движения жидкости. До сих пор неизвестно, существует ли гладкое решение уравнения Эйлера в трёхмерном случае, начиная с заданного момента времени.^[1]

Классическое уравнение Эйлера

Рассмотрим движение идеальной жидкости. Выделим внутри неё некоторый объём V. Согласно второму закону Ньютона, ускорение центра масс этого объёма пропорционально полной силе, действующей на него. В случае идеальной жидкости эта сила сводится к давлению окружающей объём жидкости и, возможно, воздействию внешних силовых полей. Предположим, что это поле представляет собой силы инерции или гравитации, так что эта сила пропорциональна напряжённости поля и массе элемента объёма. Тогда

${\displaystyle \int \limits _{V}{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}\,dm=\int \limits _{V}\mathbf {g} \,dm-\oint \limits _{S}p\,d\mathbf {S} ,}$

где ${\displaystyle \mathbf {S} }$ — поверхность выделенного объёма, ${\displaystyle \mathbf {g} }$ — напряжённость поля. Переходя, согласно формуле Гаусса — Остроградского, от поверхностного интеграла к объёмному и учитывая, что ${\displaystyle dm=\rho \,dV}$, где ${\displaystyle \rho }$ — плотность жидкости в данной точке, получим:

${\displaystyle \int \limits _{V}\rho \,{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}\,dV=\int \limits _{V}\rho \,\mathbf {g} \,dV-\int \limits _{V}\nabla p\,dV.}$

В силу произвольности объёма ${\displaystyle V}$ подынтегральные функции должны быть равны в любой точке:

${\displaystyle \rho {\frac {d\mathbf {v} }{dt}}=\rho \mathbf {g} -\nabla p.}$

Выражая полную производную через конвективную производную и частную производную:

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} ,}$

получаем уравнение Эйлера для движения идеальной жидкости в поле тяжести:

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} =\mathbf {g} -{\frac {1}{\rho }}\nabla p,}$

где

${\displaystyle \rho \left(x,y,z,t\right)}$ — плотность жидкости,

${\displaystyle p\left(x,y,z,t\right)}$ — давление в жидкости,

${\displaystyle \mathbf {v} \left(x,y,z,t\right)}$ — вектор скорости жидкости,

${\displaystyle \mathbf {g} \left(x,y,z,t\right)}$ — вектор напряжённости силового поля,

${\displaystyle \nabla }$ — оператор набла для трёхмерного пространства.

Частные случаи

Стационарный одномерный поток

Для случая стационарного одномерного потока жидкости или газа уравнение Эйлера принимает вид

${\displaystyle v{\frac {dv}{dx}}=-{\frac {1}{\rho }}\cdot {\frac {dp}{dx}}.}$

В этой форме уравнение часто используется для решения различных прикладных задач гидродинамики и газодинамики. В частности, интегрированием этого уравнения по ${\displaystyle x}$ при постоянной плотности жидкости ${\displaystyle \rho }$ получается известное уравнение Бернулли для несжимаемой жидкости:

${\displaystyle {\frac {\rho v^{2}}{2}}+p={\text{const}}.}$

Несжимаемая жидкость

Пусть ${\displaystyle \rho ={\text{const}}}$. Используя известную формулу

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\operatorname {grad} v^{2}=[\mathbf {v} \operatorname {rot} \mathbf {v} ]+(\mathbf {v\nabla } )\mathbf {v} ,}$

перепишем соотношение в форме

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\operatorname {grad} v^{2}=[\mathbf {v} \operatorname {rot} \mathbf {v} ]-\operatorname {grad} {\frac {p}{\rho }}.}$

Беря ротор и учитывая, что

${\displaystyle \operatorname {rot} \operatorname {grad} \phi =0,}$

а частные производные коммутируют, получаем, что

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\operatorname {rot} \mathbf {v} =\operatorname {rot} [\mathbf {v} \operatorname {rot} \mathbf {v} ].}$

Адиабатическое течение

В случае, если происходит адиабатическое движение жидкости, то уравнение Эйлера можно переписать с использованием тепловой функции ${\displaystyle w}$ следующим образом:

${\displaystyle dw=V\,dp+T\,ds=V\,dp}$ в силу того, что при адиабатическом процессе энтропия ${\displaystyle s}$ постоянна.

Следовательно:

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+\left(\mathbf {v\nabla } \right)\mathbf {v} =-\operatorname {grad} w.}$

Используя известное соотношение

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\operatorname {grad} v^{2}=[\mathbf {v} \operatorname {rot} \mathbf {v} ]+(\mathbf {v\nabla } )\mathbf {v} }$

и применяя операцию ротор к уравнению Эйлера, получим искомое представление в виде

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\operatorname {rot} \mathbf {v} =\operatorname {rot} [\mathbf {v} \operatorname {rot} \mathbf {v} ].}$

См. также

• Уравнения Лагранжа
• Уравнение Эйлера в форме Громеки — Лэмба
• Уравнения движения вязкой жидкости
• Конформные преобразования — метод нахождения формы невязких течений, решений уравнения Эйлера.
• Уравнение вихря
• Список объектов, названных в честь Леонарда Эйлера

Примечания

1. Стюарт, 2015, с. 315.

Литература

• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Гидродинамика. — М., 1986. — («Теоретическая физика», том VI).
• Falkovich G. Fluid Mechanics (A short course for physicists) Cambridge University Press 2011
• Стюарт, Иэн. Величайшие математические задачи. — М.: Альпина нон-фикшн, 2015. — 460 с. — ISBN 978-5-91671-318-3.

Ссылки

Русский перевод мемуара Эйлера, в котором впервые опубликованы уравнения движения идеальной жидкости