Loading AI tools
Из Википедии, свободной энциклопедии
Те́ст Люка́ — Ле́мера (англ. Lucas-Lehmer test, сокр. LLT) — полиномиальный, детерминированный и безусловный (то есть не зависящий от недоказанных гипотез) тест простоты для чисел Мерсенна. Сформулирован Эдуардом Люка в 1878 году и доказан Лемером в 1930 году .
При заданном простом числе тест позволяет за полиномиальное время от битовой длины числа Мерсенна определить, является простым или составным . Доказательство справедливости теста существенно опирается на функции Люка , что позволило обобщить тест Люка — Лемера на некоторые числа, вид которых отличен от чисел Мерсенна .
Благодаря этому тесту самыми большими известными простыми числами почти всегда были простые числа Мерсенна, причём даже до появления компьютеров; именно он лежит в основе проекта распределённых вычислений GIMPS, занимающегося поиском новых простых чисел Мерсенна. Также он интересен своей связью с чётными совершенными числами .
Тест основывается на следующем критерии простоты чисел Мерсенна[1]:
Пусть — простое нечётное. Число Мерсенна простое тогда и только тогда, когда оно делит нацело -й член последовательности
- [2],
задаваемой рекуррентно:
Для проверки простоты последовательность чисел вычисляется по модулю числа (то есть вычисляются не сами числа , длина которых растёт экспоненциально, а остатки от деления на , длина которых ограничена битами). Последнее число в этой последовательности называется вычетом Люка — Лемера[3]. Таким образом, число Мерсенна является простым тогда и только тогда, когда число — нечётное простое и вычет Люка — Лемера равен нулю. Сам алгоритм можно записать в виде псевдокода[4]:
LLT(p) ►Вход: простое нечётное число p S = 4 k = 1 M = 2p − 1 До тех пока k != p - 1 выполнять S = ((S × S) − 2) mod M k += 1 Конец цикла Если S = 0 выполнять Возвратить ПРОСТОЕ иначе Возвратить СОСТАВНОЕ Конец условия
Значения , для которых справедлив критерий простоты, образуют последовательность: [5][6][7].
Не обязательно проверять все простые нечётные при непосредственном переборе, поскольку некоторые числа Мерсенна специального вида всегда являются составными, что следует, например, из следующей доказанной Эйлером теоремы[8]:
Если числа и — простые, то .
Один из подходов к доказательству основан на использовании функций Люка:
где — корни квадратного уравнения
с дискриминантом причём и взаимно просты.
В частности, при доказательстве используются некоторые свойства этих функций, а именно[9]:
Схема доказательства[9]:
Из свойства 4. по модулю при , , следует:
а по свойству 2.
поэтому
и
, поэтому если — простое, то и из последних двух свойств делит
Далее, из свойств 1. и 2.
но по свойству 3.
то есть делит , а значит и .
Если делит , то из доказательства необходимости следует, что оно делит и . взаимно просто с по свойству 1., а по свойству 2. — делит . Но тогда каждый простой делитель числа представим в виде , то есть — простое.
Критерий простоты был предложен французским математиком Люка в 1878 году. В частности, Люка показал, что алгоритм позволяет проверять простоту для простых [9]. В 1930 году американский математик Лемер полностью доказал справедливость критерия для всех простых нечётных в своей диссертации на соискание учёной степени доктора философии[1].
В 1952 году Робинсон при поддержке Лемера провел вычисления на компьютере SWAC с использованием теста Люка — Лемера, результатом которого стало открытие простых чисел и . Позднее в этом же году были открыты , и [10].
Лёгкость реализации теста и рост вычислительных мощностей компьютеров позволили фактически любому человеку заниматься поиском простых чисел Мерсенна. Так, в 1978 году два американских старшеклассника Лора Никель и Курт Нолл (Лемер преподавал им теорию чисел) за 3 года работы доказали простоту числа , используя суперкомпьютер CDC Cyber 176 в Калифорнийском университете[11].
Наибольшее из известных простых чисел Мерсенна на 2024 год, полученное с помощью теста Люка — Лемера, это [12].
Требование нечётности в условии критерия существенно, так как — простое, но .
Число — простое[13]. Действительно,
Применение теста к числу показывает, что оно составное[13]:
Действительно, .
В рассматриваемом тесте две основные операции: возведение в квадрат и деление по модулю. Эффективный алгоритм деления по модулю числа Мерсенна на компьютере (фактически сводящийся к нескольким операциям битового сдвига) дает следующая теорема[4]:
Для целого числа и числа Мерсенна имеет место сравнение по модулю
- ,
причём умножение на по модулю равносильно левому циклическому сдвигу на бит (если , то сдвиг осуществляется в обратную сторону).
Например, чтобы вычислить остаток от деления числа на , нужно исходное число преобразовать в двоичный вид: , и, согласно теореме, разбивать на две части каждый раз, когда оно превосходит :
При использовании этого способа деления по модулю вычислительная сложность теста будет определяться сложностью алгоритма возведения в квадрат. Длина составляет бит, а алгоритм умножения двух чисел, например, «в столбик», имеет сложность [4]. Так как возведение в квадрат в тесте происходит раз, то вычислительная сложность алгоритма равна [14]. Тест можно ускорить, если использовать алгоритмы быстрого умножения больших целых чисел, например, метод умножения Шёнхаге — Штрассена. Сложность теста в таком случае составит .
Условие в тесте можно ослабить[8] и потребовать лишь, чтобы , откуда немедленно следует:
В 1930 году Лемер вывел критерий простоты для чисел вида , где , а в 1969 году Ханс Ризель[англ.] модифицировал тест Люка — Лемера для чисел такого вида, который впоследствии был дополнен Стечкиным[9]. Возможно обобщение теста и на числа вида [15].
Уильямсом[нем.] были доказаны критерии простоты, аналогичные тесту Люка — Лемера, для чисел вида и , а также для некоторых чисел вида , где — простое [9].
Существует более общий -тест простоты, который применим для любого натурального числа , если известно полное или частичное разложение на простые множители числа или [4].
Благодаря тесту Люка — Лемера, простые числа Мерсенна удерживают лидерство как самые большие известные простые числа, хотя и до существования теста числа Мерсенна почти всегда были наибольшими простыми. Так, в 1588 году была доказана простота чисел и [16].
Евклид доказал, что всякое число вида — совершенное, если — простое, а Эйлер показал, что все чётные совершенные числа имеют такой вид[17]; поэтому тест Люка — Лемера фактически позволяет найти все чётные совершенные числа.
Именно этот тест лежит в основе проекта распределённых вычислений GIMPS, занимающегося поиском новых простых чисел Мерсенна[18], хотя до сих пор не доказано, что их бесконечно много[19].
Также данный тест используется для тестирования аппаратного обеспечения. Так, в 1992 году специалисты компании AEA Technology[англ.] протестировали новый суперкомпьютер компании Cray, используя программу, написанную Словински[англ.] для поиска простых чисел Мерсенна. В результате за 19 часов работы программы было открыто простое число [20].
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.