Эпсилон-сеть

ε-сеть (эпсилон-сеть, ε-плотное множество) для подмножества ${\displaystyle M}$ метрического пространства ${\displaystyle X}$ есть множество ${\displaystyle Z}$ из того же пространства ${\displaystyle X}$ такое, что для любой точки ${\displaystyle x\in M}$ найдётся точка ${\displaystyle z\in Z}$, удалённая от ${\displaystyle x}$ не более чем на ε.

Связанные определения

• Метрическое пространство, в котором для каждого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существует конечная ${\displaystyle \varepsilon }$-сеть, называется вполне ограниченным.

• Метрика ${\displaystyle \rho }$ на множестве ${\displaystyle X}$ называется вполне ограниченной, если ${\displaystyle (X,\rho )}$ — вполне ограниченное метрическое пространство.

• Семейство метрических пространств ${\displaystyle (X_{\alpha },\rho _{\alpha })}$ таких, что для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ есть натуральное число ${\displaystyle N_{\varepsilon }}$ такое, что каждое пространство ${\displaystyle (X_{\alpha },\rho _{\alpha })}$ допускает ${\displaystyle \varepsilon >0}$-сеть из не более чем ${\displaystyle N_{\varepsilon }}$ точек называется универсально вполне ограниченной.
  • Для таких семейств выполняется аналог теоремы Громова о компактности.

• Топологическое пространство, гомеоморфное вполне ограниченному метрическому пространству, называется метризуемым вполне ограниченной метрикой.

Примеры

• Для стандартной метрики множество рациональных чисел — ε-сеть для множества вещественных для любого ε > 0.
• Множество целых чисел — ε-сеть для множества вещественных для ${\displaystyle \varepsilon \geq 0{,}5}$

Свойства

• Метрическое пространство имеет эквивалентную вполне ограниченную метрику тогда и только тогда, когда оно сепарабельно.
• Топологическое пространство метризуемо вполне ограниченной метрикой тогда и только тогда, когда оно регулярно и удовлетворяет второй аксиоме счётности.
• Метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда оно полно и вполне ограниченно. В чуть более общей формулировке, теорема Хаусдорфа о компактности гласит, что для относительной компактности подмножества ${\displaystyle M}$ метрического пространства ${\displaystyle X}$ необходимо, а в случае полноты пространства ${\displaystyle X}$ и достаточно, чтобы при любом ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существовала конечная ε-сеть из элементов множества ${\displaystyle M}$.

Доказательство

Необходимость

Пусть множество ${\displaystyle M}$ (относительно) компактно. Зафиксируем ${\displaystyle \varepsilon >0}$ и рассмотрим любой элемент ${\displaystyle x_{1}\in M}$. Если ${\displaystyle \rho (x,x_{1})<\varepsilon }$ для любого ${\displaystyle x\in M}$, то конечная ε-сеть из одного элемента уже построена. В противном случае найдется элемент ${\displaystyle x_{2}\in M}$ такой, что ${\displaystyle \rho (x_{2},x_{1})\geqslant \varepsilon }$. Имеются далее две возможности. Либо для любого ${\displaystyle x\in M}$ по крайней мере одно из чисел ${\displaystyle \rho (x,x_{1})}$ или ${\displaystyle \rho (x,x_{2})}$ меньше ${\displaystyle \varepsilon }$, и тогда конечная ε-сеть из двух элементов уже построена, либо найдется элемент ${\displaystyle x_{3}\in M}$ такой, что ${\displaystyle \rho (x_{3},x_{1})\geqslant \varepsilon }$, ${\displaystyle \rho (x_{3},x_{2})\geqslant \varepsilon }$, и так далее. Покажем, что процесс построения точек ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots }$ оборвется после конечного числа шагов, что означает, что конечная ε-сеть будет построена. Если бы это было не так, то получилась бы последовательность ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},\ldots }$, для которой ${\displaystyle \rho (x_{i},x_{j})\geqslant \varepsilon }$ при ${\displaystyle i\neq j}$. Но тогда ни сама последовательность ${\displaystyle \{x_{n}\},}$ ни любая её подпоследовательность не может сходиться, что противоречит компактности множества ${\displaystyle M}$. Итак, для компактного множества ${\displaystyle M}$ мы построили конечную ε-сеть, точки которой принадлежат самому множеству.

Достаточность

Пусть при любом ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существует ε-сеть для множества ${\displaystyle M}$. Возьмем числовую последовательность ${\displaystyle {\mathcal {f}}\varepsilon _{n}{\mathcal {g}}}$, где ${\displaystyle \varepsilon _{n}\rightarrow 0}$ при ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$ и для каждого ${\displaystyle n}$ построим ${\displaystyle \varepsilon _{n}}$-сеть ${\displaystyle N_{n}=\{z_{1}^{(n)},z_{2}^{(n)},\ldots ,z_{m_{n}}^{(n)}\}}$. Рассмотрим произвольную последовательность ${\displaystyle \{x_{n}\}\in M}$. Так как ${\displaystyle N_{1}}$ есть ${\displaystyle \varepsilon _{1}}$-сеть для ${\displaystyle M}$, то, каков бы ни был элемент ${\displaystyle x\in M}$, будем иметь, что ${\displaystyle \rho (x,z_{i}^{(1)})<\varepsilon _{1}}$ для хотя бы одного элемента ${\displaystyle z_{i}^{(1)}\in N_{1}}$. Поэтому любой элемент ${\displaystyle x\in M}$ попадает хотя бы в один шар ${\displaystyle S(z_{i}^{(1)},\varepsilon _{1}),i=1,2,\ldots ,m_{1}}$, то есть все множество ${\displaystyle M}$, а тем более вся последовательность ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ разместится в этих шарах. Так как шаров конечное число, а последовательность ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ бесконечна, то найдется хотя бы один шар ${\displaystyle S(z_{i}^{(1)},\varepsilon _{1})}$, который будет содержать бесконечную подпоследовательность ${\displaystyle \{x_{n}^{(1)}\}}$ нашей последовательности. Это рассуждение можно повторить и для ${\displaystyle N_{m},m=2,3,\ldots }$. Составим диагональную подпоследовательность ${\displaystyle x_{1}^{(1)},x_{2}^{(2)},\ldots ,x_{k}^{(k)},\ldots }$. Покажем, что эта последовательность сходится в себе. Так как ${\displaystyle x_{k}^{(k)}}$ и ${\displaystyle x_{k+p}^{(k+p)}}$ при ${\displaystyle p>0}$ входят в ${\displaystyle k}$-ю подпоследовательность, а ${\displaystyle k}$-я подпоследовательность содержится в шаре ${\displaystyle S(z_{i}^{(k)},\varepsilon _{k})}$, то ${\displaystyle \rho (x_{k+p}^{(k+p)},x_{k}^{(k)})\leqslant \varepsilon _{k}\rightarrow 0}$ при ${\displaystyle k\rightarrow \infty }$. По предположению, пространство ${\displaystyle X}$ полное. Поэтому из сходимости в себе последовательности ${\displaystyle \{x_{k}^{(k)}\}}$ следует её сходимость к некоторому пределу, а это и доказывает возможность выделения из любой последовательности ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ сходящейся подпоследовательности, то есть (относительная) компактность множества ${\displaystyle M.}$^[1]

• Полное метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ в нём существует компактная ε-сеть.

Примечания

1. Соболев В. И. Лекции по дополнительным главам математического анализа. — М.: Наука, 1968 — стр. 59.

Литература

• Д. Ю. Бураго, Ю. Д. Бураго, С. В. Иванов. Курс метрической геометрии. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004, 512 стр. ISBN 5-93972-300-4.
• Энгелькинг, Р. Общая топология. — М.: Мир, 1986. — 752 с.