Теорема Фейербаха

Теорема Фейербаха — результат геометрии треугольника. Теорема была сформулирована и доказана Карлом Вильгельмом Фейербахом в 1822 году.

Окружность девяти точек (проходящая через середины сторон треугольника) отмечена пунктиром.

Формулировка

Окружность девяти точек произвольного треугольника касается вписанной и всех трёх вневписанных окружностей этого треугольника.

Замечания

• Точки попарного касания вписанной и трех вневписанных окружностей с окружностью девяти точек называются точками Фейербаха.
• Каждая точка Фейербаха лежит в точке касания пары соответствующих окружностей на линии, соединяющей их центры, на расстоянии соответствующих радиусов до их центров.
• В равностороннем треугольнике окружность девяти точек не касается, а совпадает со вписанной окружностью.

• Три точки касания трёх вневписанных окружностей треугольника с его с окружностью девяти точек образуют так называемый треугольник Фейербаха для данного треугольника.

• Точка Фейербаха F в Энциклопедии центров треугольника Кларка Кимберлинга идентифицируется, как точка (центр) X(11).

О доказательствах

Найдено более 300 доказательств этой теоремы, многие из которых используют инверсию. Одно из них (громоздкое) принадлежит самому Фейербаху. Самое короткое известное доказательство использует обратную теорему Кейси^[1]. Доказательство без инверсии использует критерий Архимеда^[2]

Связанные утверждения

• Гипербола Фейербаха — описанная гипербола, проходящая через ортоцентр и центр вписанной окружности. Её центр лежит в точке Фейербаха. Подерные и чевианные окружности точек на гиперболе Фейербаха проходят через точку Фейербаха. В частности, через точку Фейербаха проходит окружность, проведённая через основания биссектрис.^[3][4]

Точки Фейербаха: ${\displaystyle F}$, ${\displaystyle F_{a}}$, ${\displaystyle F_{b}}$, ${\displaystyle F_{c}}$.

• Точка Фейербаха F лежит на линии, соединяющей центры двух окружностей: окружности Эйлера и вписанной окружности, что и определяет её.
• Пусть ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ и ${\displaystyle z}$ расстояния от точки Фейербаха F, до вершин серединного треугольника (треугольника с вершинами в серединах сторон данного треугольника). Тогда^[5]

  ${\displaystyle x+y+z=2\max(x,y,z)}$.

• Это утверждение эквивалентно тому, что наибольшее из трёх расстояний равно сумме двух других. То есть аналог свойств теоремы Мавло не для дуг, а для отрезков.

Аналогичное соотношение также встречается в разделе: «Теорема Помпею».

• Несколько новых теорем о точке Фейербаха F можно найти у Ф. Ивлева^[6].