Теорема Фейербаха

Теорема Фейербаха — результат геометрии треугольника. Теорема была сформулирована и доказана Карлом Вильгельмом Фейербахом в 1822 году.

Окружность девяти точек (проходящая через середины сторон треугольника) отмечена пунктиром.

Формулировка

Окружность девяти точек произвольного треугольника касается вписанной и всех трёх вневписанных окружностей этого треугольника.

Замечания

• Точки попарного касания вписанной и трех вневписанных окружностей с окружностью девяти точек называются точками Фейербаха.
• Каждая точка Фейербаха лежит в точке касания пары соответствующих окружностей на линии, соединяющей их центры, на расстоянии соответствующих радиусов до их центров.
• В равностороннем треугольнике окружность девяти точек не касается, а совпадает со вписанной окружностью.

• Три точки касания трёх вневписанных окружностей треугольника с его с окружностью девяти точек образуют так называемый треугольник Фейербаха для данного треугольника.

• Точка Фейербаха F в Энциклопедии центров треугольника Кларка Кимберлинга идентифицируется, как точка (центр) X(11).

О доказательствах

Найдено более 300 доказательств этой теоремы, многие из которых используют инверсию. Одно из них (громоздкое) принадлежит самому Фейербаху. Самое короткое известное доказательство использует обратную теорему Кейси^[1]. Доказательство без инверсии использует критерий Архимеда^[2]

Связанные утверждения

• Гипербола Фейербаха — описанная гипербола, проходящая через ортоцентр и центр вписанной окружности. Её центр лежит в точке Фейербаха. Подерные и чевианные окружности точек на гиперболе Фейербаха проходят через точку Фейербаха. В частности, через точку Фейербаха проходит окружность, проведённая через основания биссектрис.^[3][4]

Точки Фейербаха: ${\displaystyle F}$, ${\displaystyle F_{a}}$, ${\displaystyle F_{b}}$, ${\displaystyle F_{c}}$.

• Точка Фейербаха F лежит на линии, соединяющей центры двух окружностей: окружности Эйлера и вписанной окружности, что и определяет её.
• Пусть ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ и ${\displaystyle z}$ расстояния от точки Фейербаха F, до вершин серединного треугольника (треугольника с вершинами в серединах сторон данного треугольника). Тогда^[5]

  ${\displaystyle x+y+z=2\max(x,y,z)}$.

• Это утверждение эквивалентно тому, что наибольшее из трёх расстояний равно сумме двух других. То есть аналог свойств теоремы Мавло не для дуг, а для отрезков.

Аналогичное соотношение также встречается в разделе: «Теорема Помпею».

• Несколько новых теорем о точке Фейербаха F можно найти у Ф. Ивлева^[6].

Примечания

1. Casey, 1866, с. 411.
2. Feuerbach's theorem #SoME3  (рус.). Дата обращения: 8 сентября 2023. Архивировано 8 сентября 2023 года.
3. Акопян А. В., Заславский А. А.. Геометрические свойства кривых второго порядка. — 2-е изд., дополн.. — 2011. — С. 105.
4. Dan Pedoe. Circles: A Mathematical View, Mathematical Association of America, Washington, D. C., 1995.
5. Weisstein, Eric W. Feuerbach Point (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
6. Ивлев Ф. Несколько прямых, проходящих через точку Фейербаха/ Математическое просвещение, сер. 3, вып. 15, 2011. С. 219—228

Литература

• Дм. Ефремов, Новая геометрия треугольника. (1902)
• Коксетер Г. С. М., Грейтцер С. П. Новые встречи с геометрией. — М.: Наука, 1978. — Т. 14. — (Библиотека математического кружка).
• Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 т. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 49-50. — ISBN 5-94057-170-0.
• Точка Феербаха (Feuerbach point. англ. яз.). https://en.wikipedia.org/wiki/Feuerbach_point
• Точки Феербаха (англ. яз.). http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/class/feuer.html
• Thébault, Victor (1949), "On the Feuerbach points", American Mathematical Monthly, 56: 546—547, doi:10.2307/2305531, MR 0033039
• Emelyanov, Lev; Emelyanova, Tatiana (2001), "A note on the Feuerbach point", Forum Geometricorum, 1: 121–124 (electronic), MR 1891524
• Suceavă, Bogdan; Yiu, Paul (2006), "The Feuerbach point and Euler lines", Forum Geometricorum, 6: 191—197, MR 2282236
• Vonk, Jan (2009), "The Feuerbach point and reflections of the Euler line", Forum Geometricorum, 9: 47—55, MR 2534378
• Nguyen, Minh Ha; Nguyen, Pham Dat (2012), "Synthetic proofs of two theorems related to the Feuerbach point", Forum Geometricorum, 12: 39—46, MR 2955643
• John Casey. On the Equations and Properties: (1) of the System of Circles Touching Three Circles in a Plane; (2) of the System of Spheres Touching Four Spheres in Space; (3) of the System of Circles Touching Three Circles on a Sphere; (4) of the System of Conics Inscribed to a Conic, and Touching Three Inscribed Conics in a Plane // Proceedings of the Royal Irish Academy. — 1866. — № 9. — С. 396—423. — JSTOR 20488927.