Стохастический интеграл

Стохастический интеграл — интеграл вида ${\displaystyle \int f(t)dy(t)}$, где ${\displaystyle {y(t),t\in T}}$ — случайный процесс с независимыми нормальными приращениями. Стохастические интегралы широко используются в стохастических дифференциальных уравнениях. Стохастический интеграл нельзя вычислять как обычный интеграл Стилтьеса^[1].

Стохастический интеграл от детерминированной функции

Введем гильбертово пространство ${\displaystyle H}$ случайных величин ${\displaystyle \xi }$, ${\displaystyle \mathbb {E} |\xi ^{2}|<\infty }$, со скалярным произведением ${\displaystyle (\xi _{1},\xi _{2})=\mathbb {E} \xi _{1}{\bar {\xi _{2}}}}$ и среднеквадратичной нормой ${\displaystyle \left\|\xi _{1}\right\|=\left(\mathbb {E} \left|\xi \right|^{2}\right)^{1/2}}$. Здесь ${\displaystyle \mathbb {E} }$ - обозначает математическое ожидание. В рамках гильбертова пространства можно описать важнейшие характеристики случайных величин, такие как условные математические ожидания, условные вероятности и т.д.^[2]

Пусть ${\displaystyle T}$ - конечный или бесконечный отрезок действительной прямой и на его полуинтервалах вида ${\displaystyle \Delta =\left(s,t\right]\subseteq T}$ задана стохастическая аддитивная функция ${\displaystyle \eta (\Delta )}$ с ортогональными значениями из гильбертова пространства ${\displaystyle H}$ случайных величин ${\displaystyle \xi }$, ${\displaystyle \mathbb {E} |\xi ^{2}|<\infty }$, обладающая свойствами:

• Для любых непересекающихся ${\displaystyle \Delta _{1}}$, ${\displaystyle \Delta _{2}}$, величины ${\displaystyle \eta (\Delta _{1})}$,${\displaystyle \eta (\Delta _{2})}$ являются ортогональными, то есть их скалярное произведение в гильбертовом пространстве равно нулю: ${\displaystyle \left(\eta (\Delta _{1}),\eta (\Delta _{2})\right)=0}$
• Если ${\displaystyle \Delta _{1}}$, ${\displaystyle \Delta _{2}}$ являются непересекающимися полуинтервалами и ${\displaystyle \Delta _{1}\cup \Delta _{2}}$ составляет полуинтервал, то ${\displaystyle \eta (\Delta _{1}\cup \Delta _{2})=\eta (\Delta _{1})+\eta (\Delta _{2})}$
• ${\displaystyle \left\|\eta (\Delta )\right\|^{2}=\left|\Delta \right|}$. Здесь ${\displaystyle \left\|\right\|}$ - норма в гильбертовом пространстве, ${\displaystyle \left|\Delta \right|=t-s}$ при ${\displaystyle \Delta =\left(s,t\right]}$.

Пусть ${\displaystyle \varphi (t)}$ детерминированная функция, удовлетворяющая условию ${\displaystyle \int _{T}\left|\varphi (t)\right|^{2}dt<\infty }$. Рассмотрим последовательность кусочно-постоянных функций ${\displaystyle \varphi _{n}(t)}$, аппроксимирующих функцию ${\displaystyle \varphi (t)}$ так, что ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{T}\left|\varphi (t)-\varphi _{n}(t)\right|^{2}dt\to 0}$,

Стохастическим интегралом ${\displaystyle \int _{T}\varphi (t)\eta (dt)}$ от детерминированной функции ${\displaystyle \varphi (t)}$ называется предел^[3] ${\displaystyle \int _{T}\varphi (t)\eta (dt)=\lim _{n\to \infty }\int _{T}\varphi _{n}(t)\eta (dt)}$

Стохастический интеграл от стохастического процесса

Рассмотрим интеграл

${\displaystyle \int _{0}^{T}\omega (t)d\omega (t),}$

где ${\displaystyle {\omega (t),t\in T}}$ — винеровский процесс с единичным параметром дисперсии. Разделим интервал ${\displaystyle [0;T]}$ точками ${\displaystyle 0=t_{1},t_{2},...,t_{N},t_{N+1}=T}$ на ${\displaystyle N}$ подинтервалов. Используя предыдущее определение интеграла для детерминированной функции, стохастический интеграл можно определить любым из двух выражений^[4]:

${\displaystyle I_{0}=\lim \sum _{i=1}^{N}\omega (t_{i})[\omega (t_{i+1})-\omega (t_{i})]}$ или ${\displaystyle I_{1}=\lim \sum _{i=1}^{N}\omega (t_{i+1})[\omega (t_{i+1})-\omega (t_{i})].}$

Эти интегралы не равны, поскольку, по определению винеровского процесса^[5]

${\displaystyle I_{1}-I_{0}=\lim \sum _{i=1}^{N}[\omega (t_{i+1})-\omega (t_{i})]^{2}=t.}$

Обобщенный стохастический интеграл можно определить как взвешенную по параметру ${\displaystyle \lambda }$ сумму интегралов ${\displaystyle I_{0}}$ и ${\displaystyle I_{1}}$ следующей формулой^[5]:

${\displaystyle I_{\lambda }=(1-\lambda )I_{0}+\lambda I_{1}=\lim \sum _{i=1}^{N}[(1-\lambda )\omega (t_{i})+\lambda \omega (t_{i+1})][\omega (t_{i+1})-\omega (t_{i})],}$

при ${\displaystyle 0\leqslant \lambda \leqslant 1}$. Интеграл ${\displaystyle I_{0}}$ соответствует интегралу Ито, а ${\displaystyle I_{0,5}}$ совпадает с интегралом Стратоновича.

Интеграл Стратоновича

Интеграл Стратоновича имеет вид^[6]

${\displaystyle I=\lim _{N\to \infty }{\dfrac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}[f(t_{i})+f(t_{i+1})][y(t_{i+1})-y(t_{i})].}$

Интеграл Ито

Интеграл Ито имеет вид^[5]

${\displaystyle \int f(t)dy(t)=\lim _{N\to \infty }\sum _{i=1}^{N}f(t_{i})[y(t_{i+1})-y(t_{i})].}$

Его основные свойства^[5]:

• ${\displaystyle E\int f(t)dy(t)=\int {Ef(t)}dm(t).}$
• ${\displaystyle cov\left[\int f(t)dy(t),\int g(t)dy(t)\right]=\int [Ef(t)g(t)]dr(t).}$

Здесь ${\displaystyle m(t)}$ — функция среднего значения, ${\displaystyle r(t)}$ — ковариационная функция.

Интеграл Винера

Поставим в соответствие каждой траектории одномерного винеровского процесса некоторое число ${\displaystyle \alpha }$. Тогда эту траекторию можно описать посредством стохастической функции ${\displaystyle x(t,\alpha )}$. Интеграл вида

${\displaystyle \int \limits _{0}^{1}f(t)dx(t,\alpha )}$

называется стохастическим интегралом Винера. Этот интеграл вычисляется интегрированием по частям с учётом равенства ${\displaystyle x(0,\alpha )=0}$^[7]:

${\displaystyle \int \limits _{0}^{1}f(t)dx(t,\alpha )=f(1)x(1,\alpha )-\int \limits _{0}^{1}f'(t)x(t,\alpha )dt.}$

Его основные свойства:

${\displaystyle \int \limits _{0}^{1}d\alpha \int \limits _{0}^{1}f(t)dx(t,\alpha )=0}$^[8].

${\displaystyle \int \limits _{0}^{1}d\alpha \left[\int \limits _{0}^{1}f(t)dx(t,\alpha )\right]^{2}=\int \limits _{0}^{1}f^{2}(t)dt}$^[9].

См. также

• Стохастическое исчисление Ито
• Стратонович, Руслан Леонтьевич

Примечания

1. Острём, 1973, с. 68.
2. Розанов, 1982, с. 57.
3. Розанов, 1982, с. 64.
4. Острём, 1973, с. 70.
5. Острём, 1973, с. 71.
6. Острём, 1973, с. 72.
7. Винер, 1961, с. 20.
8. Винер, 1961, с. 21.
9. Винер, 1961, с. 24.

Литература

• Острём, К. Ю.. Введение в стохастическую теорию управления / пер. с англ. С. А. Анисисмова, Н. Е. Арутюновой, А. Л. Бунича; под ред. Н. С. Райбмана. — М.: Мир, 1973.
• Винер, Н. Нелинейные задачи в теории случайных процессов. — М.: Издательство иностранной литературы, 1961.
• Ю.А. Розанов. Введение в теорию случайных процессов. — М.: Наука, 1982. — 128 с.