Сриниваса Рамануджан

У этого человека тамильское имя без фамилии. Рамануджан — имя, Сриниваса — отчество, Айенгор — каста.

Сринива́са Рамануджа́н Айенго́р (произношение^{о файле}; там. ஸ்ரீனிவாஸ ராமானுஜன் ஐயங்கார் [sriːniʋaːsa ɾaːmaːnud͡ʑan ajːaŋgar]; англ. Srinivasa Ramanujan Aiyangar; 22 декабря 1887 — 26 апреля 1920) — индийский математик.

Сриниваса Рамануджан
там. சீனிவாச இராமானுஜன்,
Дата рождения	22 декабря 1887(1887-12-22)[1][2][…]
Место рождения	Ироду, Майсур, Британская Индия
Дата смерти	26 апреля 1920(1920-04-26)[1][2][…] (32 года)
Место смерти	Кумбаконам, Мадрасское президентство, Британская Индия[3]
Страна	Британская Индия
Род деятельности	математик
Научная сфера	математик
Место работы	Тринити-колледж Кембриджского университета[1] Ченнаи[1]
Альма-матер	Кумбаконамский колледж Мадрасского университета[англ.], Кембриджский университет
Научный руководитель	Годфри Харди Джон Литлвуд
Известен как	Суммы Рамануджана Гипотеза Рамануджана Константа Ландау—Рамануджана Фальшивые тета-функции[англ.] Простые числа Рамануджана Константа Рамануджана-Зольднера[англ.] Тета-функции Рамануджана
Награды и премии	член Лондонского королевского общества (2 мая 1918) Fellow of Trinity College[вд] (13 октября 1918)
Автограф
Медиафайлы на Викискладе

Не имея специального математического образования, получил замечательные результаты в области теории чисел. Наиболее значительна его работа совместно с Годфри Харди по асимптотике числа разбиений p(n).

Биография

Рамануджан родился 22 декабря 1887 года в городе Ироду, Мадрасское президентство, на юге Индии, в тамильской семье. Отец работал бухгалтером в небольшой текстильной лавке в городе Кумбаконаме Танджорского района Мадрасского президентства. Мать была глубоко религиозна. Рамануджан воспитывался в строгих традициях замкнутой касты брахманов. В 1889 году он перенёс оспу, но сумел выжить и выздороветь.

В школе проявились его незаурядные способности к математике, и знакомый студент из города Мадраса дал ему книги по тригонометрии. В 14 лет Рамануджан открыл формулу Эйлера и был очень расстроен, узнав, что она уже опубликована. В 16 лет в его руки попало двухтомное сочинение математика Джорджа Шубриджа Карра «Сборник элементарных результатов чистой и прикладной математики», написанное почти за четверть века до этого (впоследствии, благодаря связи с именем Рамануджана, эта книга была подвергнута тщательному анализу). В нём было помещено 6165 теорем и формул, практически без доказательств и пояснений. Юноша, не имевший ни доступа в вуз, ни общения с математиками, погрузился в общение с этим сводом формул. Таким образом, у него сложился определённый способ мышления, своеобразный стиль доказательств. В этот период и определилась математическая судьба Рамануджана. Среди покровителей Рамануджана на этом поприще были его начальник сэр Фрэнсис Спринг, его коллега С. Нараяна Ийер и будущий секретарь Индийского математического общества Р. Рамачандра Рао.

В январе 1913 года Рамануджан написал письмо известному профессору Кембриджского университета Годфри Харди. В письме Рамануджан сообщал, что он не оканчивал университета, а после средней школы занимается математикой самостоятельно. К письму были приложены формулы, автор просил их опубликовать, если они интересны, поскольку сам он беден и не имеет для публикации достаточных средств. Между кембриджским профессором и индийским клерком завязалась оживлённая переписка, в результате которой у Харди накопилось около 120 формул, неизвестных науке того времени. По настоянию Харди Рамануджан приехал в Кембридж. Там он был избран в члены Английского Королевского общества (Английская академия наук) и одновременно профессором Кембриджского университета. Он был первым индийцем, удостоенным таких почестей. Печатные труды с его формулами выходили один за другим, вызывая удивление, а подчас и недоумение коллег.

В формировании математического мира Рамануджана начальный запас математических фактов объединился с огромным запасом наблюдений над конкретными числами. Он коллекционировал такие факты с детства. Он обладал поразительной способностью подмечать огромный числовой материал. По словам Харди, «каждое натуральное число было личным другом Рамануджана»^{[источник не указан 1479 дней]}. Многие математики (как современники Рамануджана, так и наши современники) считают Рамануджана гением, опередившим развитие науки на много десятилетий^{[источник не указан 1479 дней]}.

По семейным обстоятельствам Рамануджан вернулся в Индию, где и умер 26 апреля 1920 года. Причиной ранней (в возрасте 32 лет) смерти мог быть туберкулёз, усугублённый последствиями недоедания, истощения и стресса. В 1994 году предположили, что у Рамануджана мог быть амёбиаз.

Научные интересы и результаты

Сфера его математических интересов была очень широка. Это магические квадраты, квадратура круга, бесконечные ряды, гладкие числа, разбиения чисел, гипергеометрические функции, специальные суммы и функции, ныне носящие его имя, определённые интегралы, эллиптические и модулярные функции.

Он нашёл несколько частных решений уравнения Эйлера (см. задача о четырёх кубах), сформулировал около 120 теорем (в основном в виде исключительно сложных тождеств). Современными математиками Рамануджан считается крупнейшим знатоком цепных дробей в мире. Одним из самых замечательных результатов Рамануджана в этой области является формула, в соответствии с которой сумма простого числового ряда с цепной дробью в точности равна выражению, в котором присутствует произведение ${\displaystyle e}$ на ${\displaystyle \pi }$:

${\displaystyle 1+{\frac {1}{1\cdot 3}}+{\frac {1}{1\cdot 3\cdot 5}}+{\frac {1}{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7}}+{\frac {1}{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 9}}+\ldots +{\frac {1}{1+\displaystyle {\frac {1}{1+\displaystyle {\frac {2}{1+\displaystyle {\frac {3}{1+\displaystyle {\frac {4}{1+\displaystyle {\frac {5}{1+\ldots }}}}}}}}}}}}={\sqrt {\frac {e\cdot \pi }{2}}}.}$

Математикам хорошо известна формула вычисления числа ${\displaystyle \pi }$, полученная Рамануджаном в 1910 году путём разложения арктангенса в ряд Тейлора:

${\displaystyle \pi ={\frac {9801}{2{\sqrt {2}}\sum \limits _{k=0}^{\infty }\displaystyle {\frac {(4k)!}{(k!)^{4}}}\times \displaystyle {\frac {[1103+26390k]}{(4\times 99)^{4k}}}}}.}$

Уже при суммировании первых 100 элементов (${\displaystyle k=100}$) этого ряда достигается точность в шестьсот верных значащих цифр.

Примеры бесконечных сумм, найденных Рамануджаном:

${\displaystyle 1-5\left({\frac {1}{2}}\right)^{3}+9\left({\frac {1\times 3}{2\times 4}}\right)^{3}-13\left({\frac {1\times 3\times 5}{2\times 4\times 6}}\right)^{3}+\ldots ={\frac {2}{\pi }}}$.

${\displaystyle 1+9\left({\frac {1}{4}}\right)^{4}+17\left({\frac {1\times 5}{4\times 8}}\right)^{4}+25\left({\frac {1\times 5\times 9}{4\times 8\times 12}}\right)^{4}+\ldots ={\frac {2^{\frac {3}{2}}}{\pi ^{\frac {1}{2}}\Gamma ^{2}\left({\frac {3}{4}}\right)}}.}$

Эти удивительные формулы — одни из предложенных им в первом письме к Харди. Доказательства этих равенств нетривиальны.

Другие формулы Рамануджана не менее изящны:

${\displaystyle {\sqrt {1+2{\sqrt {1+3{\sqrt {1+4{\sqrt {1+\ldots }}}}}}}}=3.}$

Доказательство

Рамануджан предложил следующее доказательство. Заметим, что

${\displaystyle n^{2}=1+n^{2}-1}$,

${\displaystyle n^{2}=1+(n-1)(n+1)}$,

${\displaystyle n={\sqrt {1+(n-1)(n+1)}}}$.

Тогда

${\displaystyle 3={\sqrt {1+2\cdot 4}}}$

${\displaystyle 4={\sqrt {1+3\cdot 5}}}$

${\displaystyle 5={\sqrt {1+4\cdot 6}}}$

${\displaystyle \vdots }$

Объединяя первые три равенства, получаем

${\displaystyle 3={\sqrt {1+2{\sqrt {1+3{\sqrt {1+4\cdot 6}}}}}}}$.

Если продолжать процесс подстановки выражений вида ${\displaystyle n={\sqrt {1+(n-1)(n+1)}}}$ бесконечно, то получится формула Рамануджана.

${\displaystyle 3={\sqrt {1+2{\sqrt {1+3{\sqrt {1+4\cdot 6}}}}}}={\sqrt {1+2{\sqrt {1+3{\sqrt {1+4{\sqrt {1+5\cdot 7}}}}}}}}=\cdots ={\sqrt {1+2{\sqrt {1+3{\sqrt {1+4{\sqrt {1+\ldots }}}}}}}}}$.

Позже было замечено, что это доказательство Рамануджана является неполным^[4]. Такую подстановку нельзя делать бесконечное число раз. В противном случае можно было бы предложить и другие решения. Например,

${\displaystyle 4={\sqrt {16}}={\sqrt {1+2(15/2)}}={\sqrt {1+2{\sqrt {1+3(221/12)}}}}=\cdots ={\sqrt {1+2{\sqrt {1+3{\sqrt {1+\cdots }}}}}}.}$

При этом, действительно, последовательность

${\displaystyle u_{1}={\sqrt {1}}}$

${\displaystyle u_{2}={\sqrt {1+2{\sqrt {1}}}}}$

${\displaystyle u_{3}={\sqrt {1+2{\sqrt {1+3{\sqrt {1}}}}}}}$

${\displaystyle \vdots }$

${\displaystyle u_{n}={\sqrt {1+2{\sqrt {1+3{\sqrt {1+\dotsc +n{\sqrt {1}}}}}}}}}$

имеет предел, равный 3.

Доказательство Рамануджана даёт только верхнюю оценку, показывая, что ${\displaystyle u_{n}\leq 3}$ для любого (конечного) ${\displaystyle n}$. Таким образом последовательность ${\displaystyle u_{n}}$ ограничена сверху. Легко проверить, что последовательность ${\displaystyle u_{n}}$ возрастает. Поэтому по теореме Вейерштрасса последовательность ${\displaystyle u_{n}}$ имеет конечный предел ${\displaystyle \leq 3}$. Осталось показать, что он действительно равен 3. Следуя определению предела последовательности, покажем, что для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существует такое число ${\displaystyle N}$, что ${\displaystyle 3-u_{n}<\varepsilon }$ для всех ${\displaystyle n\geq N}$. Пусть ${\displaystyle 3-\varepsilon =3r}$, где ${\displaystyle 0<r=1-\varepsilon /3<1.}$ Теперь покажем, что

${\displaystyle u_{n}>3r=r{\sqrt {1+2{\sqrt {1+3{\sqrt {1+\dotsc +n{\sqrt {1+(n+1)(n+3)}}}}}}}}}$.

Внесём ${\displaystyle r}$ под корни

${\displaystyle {\sqrt {1+2{\sqrt {1+3{\sqrt {1+\dotsc +n{\sqrt {1}}}}}}}}>{\sqrt {r^{2}+2{\sqrt {r^{2^{2}}+3{\sqrt {r^{2^{3}}+\dotsc +n{\sqrt {r^{2^{n}}(1+(n+1)(n+3))}}}}}}}}}$.

Заметим, что ${\displaystyle r^{2^{i}}<1}$ для любого ${\displaystyle i}$. Следовательно, существует такое натуральное число ${\displaystyle N'}$, что для всех ${\displaystyle n\geq N'}$

${\displaystyle r^{2^{n}}(1+(n+1)(n+3))=r^{2^{n}}(n+2)^{2}<1}$,

так как ${\displaystyle r^{2^{n}}(n+2)^{2}\to 0}$ при ${\displaystyle n\to \infty }$. Таким образом, для всех ${\displaystyle n\geq N=N'}$ выполняется ${\displaystyle 3-u_{n}<\varepsilon }$.

${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=w^{3}}$, где

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=3a^{2}+5ab-5b^{2},\\y&=5a^{2}-5ab-3b^{2},\\z&=4a^{2}-4ab+6b^{2},\\w&=6a^{2}-4ab+4b^{2}.\end{aligned}}}$

${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {58}}}=396^{4}-104{,}000000177...}$

Следующая формула верна для 0 < a < b + 1/2:

${\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }{\frac {1+{\dfrac {x^{2}}{(b+1)^{2}}}}{1+{\dfrac {x^{2}}{a^{2}}}}}\times {\frac {1+{\dfrac {x^{2}}{(b+2)^{2}}}}{1+{\dfrac {x^{2}}{(a+1)^{2}}}}}\times \dots \,dx={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}\times {\frac {\Gamma \left(a+{\frac {1}{2}}\right)\Gamma (b+1)\Gamma (b-a+1)}{\Gamma (a)\Gamma \left(b+{\frac {1}{2}}\right)\Gamma \left(b-a+{\frac {1}{2}}\right)}}.}$

Признание и оценки

Бюст Рамануджана в саду Промышленного и технологического музея Бирлы^[англ.] в Калькутте

Харди остроумно прокомментировал результаты, сообщённые ему Рамануджаном: «Они должны быть истинными, поскольку если бы они не были истинными, то ни у кого не хватило бы воображения, чтобы изобрести их»^{[источник не указан 1188 дней]}. Его формулы иногда всплывают в современнейших разделах науки, о которых в его время никто даже не догадывался.

Сам Рамануджан говорил, что формулы являлись ему во сне и внушались в молитве (в индуизме: в мантра-йоге, медитации)^[5] богиней Намагири Тхайяр (Махалакшми) (хинди नामगिरी), почитаемой в Намаккале (там. நாமக்கல்)^[6][7].

Чтобы сохранить наследие этого удивительного, ни на кого не похожего математика, в 1957 году Институт фундаментальных исследований Тата издал двухтомник с фотокопиями его черновиков.

Наука ничего не выиграла от того, что Кумбаконамский колледж^[англ.] отверг единственного большого учёного, которого он имел, и потеря была неизмеримой. Судьба Рамануджана — худший известный мне пример вреда, который может быть причинён малоэффективной и негибкой системой образования. Требовалось так мало, всего 60 фунтов стерлингов в год на протяжении 5 лет и эпизодического общения с людьми, имеющими настоящие знания и немного воображения, и мир получил бы ещё одного из величайших своих математиков…

— Г. Х. Харди^{[источник не указан 1188 дней]}

Понятия, связанные с именем Рамануджана

Рамануджан на почтовой марке 2011 года

Именем Рамануджана названы математические объекты и утверждения, учебные учреждения, журналы и премии. В частности:

• Гипотеза Рамануджана
• Суммы Рамануджана
• Функция Рамануджана
• Константа Ландау — Рамануджана
• Число Рамануджана — Харди
• Тождество Роджерса — Рамануджана
• Теорема Харди — Рамануджана
• Тождество Доугалла — Рамануджана
• Граф Рамануджана
• Премия SASTRA Ramanujan

В кинематографе

Математик-самоучка Рамануджан — главный герой следующих художественных фильмов:

• «Рамануджан^[англ.]» (2014) производства Индии;
• «Человек, который познал бесконечность» (2015) производства Великобритании, по одноимённой биографии Роберта Канигела.
• Амита Рамануджан, героиня сериала «4исла», названная в честь математика.
• «Умница Уилл Хантинг» (1997) производства США. Упоминается в диалоге профессора математики Джеральда Лембо и психолога Шона.