Среднее Колмогорова

Среднее Колмогорова или среднее по Колмогорову для действительных чисел ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ — это величина вида

${\displaystyle (*)\qquad M(x_{1},\ldots ,x_{n})=\varphi ^{-1}\left({\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}\varphi (x_{k})\right)=\varphi ^{-1}\left({\frac {\varphi (x_{1})+\ldots +\varphi (x_{n})}{n}}\right)}$

где ${\displaystyle \varphi }$ — непрерывная строго монотонная функция, а ${\displaystyle \varphi ^{-1}}$ — функция, обратная к ${\displaystyle \varphi }$, причём аргументом этой обратной функции является средняя сумма в скобках.

Примеры

При выборе определённых функций ${\displaystyle \varphi }$ среднее Колмогорова даёт различные классические средние:

• при ${\displaystyle \varphi (x)=x}$ — среднее арифметическое;
• при ${\displaystyle \varphi (x)=\log _{a}x}$ — среднее геометрическое;
• при ${\displaystyle \varphi (x)={\frac {1}{x}}}$ — среднее гармоническое;
• при ${\displaystyle \varphi (x)=x^{2}}$ — среднее квадратическое;
• при ${\displaystyle \varphi (x)=x^{\alpha },\ \alpha \neq 0}$ — среднее степенное.

Свойства

В 1930 году А. Н. Колмогоров показал,^[1] что любая средняя величина ${\displaystyle M(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ имеет вид ${\displaystyle (*)}$, если она обладает свойствами:

• непрерывности,
• монотонности по каждому ${\displaystyle x_{i}}$, ${\displaystyle i=1,\ldots ,n,}$
• симметричности (среднее не меняется при перестановке аргументов),
• среднее от набора равных чисел равно их значению,
• замена значений всех чисел любой подгруппы в наборе ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ на значение среднего для этой подгруппы не меняет значение среднего всего набора.

Приложения

Средние Колмогорова используют в прикладной статистике и эконометрике. В соответствии с теорией измерений, для усреднения данных, измеренных в шкале интервалов, из всех средних Колмогорова можно использовать только среднее арифметическое, а для усреднения данных, измеренных в шкале отношений, из всех средних Колмогорова можно использовать только степенные средние и среднее геометрическое.^[2][3]

Обобщения

Для непрерывно распределённой величины ${\displaystyle f(x)}$ среднее Колмогорова на отрезке ${\displaystyle [a;b]}$:

${\displaystyle \qquad M_{[a;b]}(f(x))=\varphi ^{-1}\left({\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}\varphi (f(x))dx\right).}$

См. также

• Прикладная статистика
• Эконометрика

Литература

1. Колмогоров А. Н. Математика и механика // Избранные труды / отв. ред. С. М. Никольский, сост. В. М. Тихомиров. — М.: Наука, 1985. — Т. 1. — С. 136-138.
2. Орлов А. И. Глава 2 // Эконометрика. — 3-е изд. — М.: Экзамен, 2004. — 596 с. Архивировано 22 июня 2007 года.
3. Орлов А. И. Раздел 5.3 // Прикладная статистика. — М.: Экзамен, 2006. — 671 с. Архивировано 4 апреля 2013 года.