Спин-орбитальное взаимодействие

Слово «Взаимодействие» имеет и другие значения.

Спин-орбитальное взаимодействие — в квантовой физике взаимодействие между движущейся частицей и её собственным магнитным моментом, обусловленным спином частицы. Наиболее часто встречающимся примером такого взаимодействия является взаимодействие электрона, находящегося на одной из орбит в атоме, с собственным спином. Такое взаимодействие, в частности, приводит к возникновению так называемой тонкой структуры энергетического спектра электрона и расщеплению спектроскопических линий атома.

Вывод гамильтониана спин-орбитального взаимодействия

Спин-орбитальное взаимодействие является релятивистским эффектом, поэтому для вывода части гамильтониана, отвечающей данному взаимодействию, следует отталкиваться от уравнения Дирака с учтённым в гамильтониане вкладом от внешнего электромагнитного поля с векторным потенциалом A и скалярным потенциалом φ, для чего в уравнении Дирака, согласно лагранжеву формализму^[1], нужно произвести замену

${\displaystyle \mathbf {p} \rightarrow \mathbf {p} -(e/c)\mathbf {A} }$

и

${\displaystyle E\rightarrow E+e\varphi }$.

В итоге уравнение Дирака принимает вид:

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=[c{\boldsymbol {\alpha }}(\mathbf {p} -{\frac {e}{c}}\mathbf {A} )+\beta mc^{2}+e\varphi ]\psi }$,

где ${\displaystyle \beta ={\begin{pmatrix}\mathbf {1} &0\\0&-\mathbf {1} \\\end{pmatrix}},\quad {\boldsymbol {\alpha }}={\begin{pmatrix}0&{\boldsymbol {\sigma }}\\{\boldsymbol {\sigma }}&0\\\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle \sigma _{i}}$ — матрицы Паули

${\displaystyle \sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\\\end{pmatrix}},\quad \sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\\\end{pmatrix}},\quad \sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\\\end{pmatrix}},\quad \ \mathbf {1} ={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\\end{pmatrix}}.}$

Из данного гамильтониана видно, что волновая функция ψ должна быть четырёхкомпонентной, причём известно, что две её компоненты соответствуют решениям с положительной энергией, а две — с отрицательной. Роль решений с отрицательной энергией мала при рассмотрении вопросов, связанных с магнитными явлениями, поскольку дырки в спектре отрицательной энергии соответствуют позитронам, для образования которых нужна энергия порядка ${\displaystyle mc^{2}}$, что значительно превышает энергию, связанную с магнитными явлениями. В связи с вышесказанным удобно воспользоваться каноническим преобразованием Фолди и Ваутхайзена^[2] , которое разбивает уравнение Дирака на пару двухкомпонентных уравнений. Одно из которых описывает решения с отрицательной энергией, а другое с положительной и имеет гамильтониан следующего вида:

${\displaystyle {\mathcal {H}}=\left[mc^{2}+{\frac {1}{2m}}\left({\mathbf {p} }-{\frac {e}{c}}{\mathbf {A} }\right)^{2}-{\frac {p^{4}}{8m^{3}c^{2}}}\right]+{e\varphi }-{\frac {e\hbar }{2mc}}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\mathbf {H} }+\left\{-i{\frac {e\hbar ^{2}}{8m^{2}c^{2}}}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\nabla }\times {\mathbf {E} }-{\frac {e\hbar }{4m^{2}c^{2}}}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\mathbf {E} }\times {\mathbf {p} }\right\}-{\frac {e\hbar ^{2}}{8m^{2}c^{2}}}{\nabla }\cdot {\mathbf {E} }.}$

Члены, заключённые в фигурные скобки, характеризуют спин-орбитальное взаимодействие. В частности, если электрическое поле центрально-симметричное, то имеем ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =0}$, и гамильтониан спин-орбитального взаимодействия принимает вид:

${\displaystyle {\mathcal {H}}_{so}=-{\frac {e\hbar }{4m^{2}c^{2}}}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\mathbf {E} }\times {\mathbf {p} }={\frac {\hbar }{4m^{2}c^{2}}}{{\frac {1}{r}}{\frac {\partial V}{\partial r}}}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\mathbf {r} }\times {\mathbf {p} }={\frac {\hbar }{4m^{2}c^{2}}}{{\frac {1}{r}}{\frac {\partial V}{\partial r}}}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\mathbf {L} },}$

где ${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} }$ — оператор углового момента импульса электрона.

Данный результат согласуется с классическим выражением, описывающим взаимодействие спина электрона с полем обусловленным орбитальным движением электрона. Поясним это.

Классическое выражение энергии спин-орбитального взаимодействия для атомарного электрона

Пусть электрон движется равномерно и прямолинейно со скоростью v в поле ядра, помещённого в начале системы координат 1 и которое создаёт кулоновское поле ${\displaystyle e\mathbf {E} =-{{\frac {\mathbf {r} }{r}}{\frac {\partial V}{\partial r}}}}$. В системе координат 2, связанной с движущимся электроном, наблюдатель будет видеть движущееся ядро, которое создает как электрическое, так и магнитное поле, с напряженностью E' и H', соответственно. Как следует из теории относительности E' и H' связаны с Е следующими соотношениями:

${\displaystyle \mathbf {E} '=\mathbf {E} ,\quad \mathbf {H} '\approx -{\frac {1}{c}}\mathbf {v} \times \mathbf {E} =-{\frac {1}{mc}}\mathbf {p} \times \mathbf {E} .}$

Где отброшены члены порядка ${\displaystyle v^{2}/c^{2}.}$

Тогда уравнение изменения спинового момента количества движения ${\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {\hbar }{2}}{\boldsymbol {\sigma }}{}}$ (связанного, согласно гипотезе Уленбека — Гаудсмита, гиромагнитным отношением с магнитным моментом ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$, как ${\displaystyle {\frac {|{\boldsymbol {\mu }}|}{|\mathbf {S} |}}={\frac {|e|}{mc}}{}}$) в системе координат 2 будет иметь вид:

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {S} }{dt}}=\mu \times \mathbf {H} '=-{\frac {e\hbar }{2m^{2}c^{2}}}{\boldsymbol {\sigma }}\times \left[\mathbf {p} \times \mathbf {E} \right].}$

Это уравнение соответствует взаимодействию спина электрона с электромагнитным полем, которое описывается гамильтонианом следующего вида:

${\displaystyle {\mathcal {H}}'_{so}={\frac {e\hbar }{2m^{2}c^{2}}}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {p} \times \mathbf {E} .}$

Заметим, что вид гамильтониана с точностью до множителя 1/2 совпадает с видом спин-орбитальной части гамильтониана полученного из уравнения Дирака с помощью преобразования Фолди и Ваутхайзена. Отсутствие этого множителя связано с тем, что уравнение изменения магнитного момента электрона будет верно только в том случае, если система 2 не будет вращающейся, в противном случае это уравнение, из-за прецессии Томаса, должно иметь вид

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {S} }{dt}}={\frac {e\hbar }{2mc}}{\boldsymbol {\sigma }}\times \mathbf {H} '-\omega _{T}\times \mathbf {S} ,}$

где ${\displaystyle \omega _{T}}$ — томосовская угловая скорость вращения.

Электрон в атоме ускоряется экранированным кулоновским полем поэтому томосовская угловая скорость описывается соотношением

${\displaystyle \omega _{T}\approx {\frac {1}{2m^{2}c^{2}}}{{\frac {1}{r}}{\frac {\partial V}{\partial r}}}[\mathbf {r} \times \mathbf {p} ]}$

Таким образом гамильтониан спин-орбитального взаимодействия будет иметь вид:

${\displaystyle {\mathcal {H}}_{so}={\frac {\hbar }{2m^{2}c^{2}}}{\frac {1}{r}}{\frac {dV}{dr}}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {r} \times \mathbf {p} -{\frac {\hbar }{4m^{2}c^{2}}}{{\frac {1}{r}}{\frac {\partial V}{\partial r}}}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {r} \times \mathbf {p} ={\frac {\hbar }{4m^{2}c^{2}}}{{\frac {1}{r}}{\frac {\partial V}{\partial r}}}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {r} \times \mathbf {p} ,}$

Что в точности совпадает с ранее полученным результатом.

В твёрдом теле

В полупроводниках спин-орбитальное взаимодествие описывается гамильтонианом Рашбы и Дрессельхауза^[3].

Примечания

1. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — 512 с. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7.
2. L.L.Foldy, S.A.Wouthuysen. On the Dirac theory of spin 1/2 particles and its non-relativistic limit (англ.) // Phys.Rev. : журнал. — 1950. — Vol. 78. — P. 29-36. — doi:10.1103/PhysRev.78.29.
3. Борисенк, Данилюк, Мигас, 2021, с. 22—23.

Литература

• Степанов Н. Ф. Квантовая механика и квантовая химия. — М.: Мир, 2001. — С. 391—398. — 519 с. — 5000 экз. — ISBN 5-03-003414-5.
• Борисенко Виктор Евгеньевич, Данилюк Александр Леонидович, Мигас Дмитрий Борисович. Спинтроника : учебное пособие. — 2-е. — М.: «Лаборатория знаний», 2021. — 232 с. — ISBN 978-5-93208-558-5.
• Уайт Р. Квантовая теория магнетизма / Пер. с англ. — 2-е изд., испр. и. доп. — М.: Мир, 1985. — 304 с.
• Бьёркен Дж. Д., Дрелл С. Д. Релятивистская квантовая теория. Том 2. — ИО НФМИ, 2000. — 296 с.
• Джексон Дж. Классическая электродинамика. — М.: Мир, 1965. — 703 с.