Скалярное произведение

Обзорная статья: Произведения векторов

Скаля́рное произведе́ние (иногда называемое внутренним произведением) — результат операции над двумя векторами, являющийся скаляром, то есть числом, не зависящим от выбора системы координат. Используется в определении длины векторов и угла между ними.

Скалярное произведение векторов ${\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}$ равно произведению ${\displaystyle |\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\cos \theta }$

Обычно для скалярного произведения векторов ${\displaystyle \mathbf {a} }$ и ${\displaystyle \mathbf {b} }$ используется одно из следующих обозначений.

${\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}$

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ,\ {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}}$ или просто ${\displaystyle \mathbf {a} \mathbf {b} }$

${\displaystyle \langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle }$ и ${\displaystyle \langle a|b\rangle$ ;} второе обозначение применяется в квантовой механике для векторов состояния^[1].

В простейшем случае, а именно в случае конечномерного вещественного евклидового пространства, иногда используют «геометрическое» определение скалярного произведения ненулевых векторов ${\displaystyle \mathbf {a} }$ и ${\displaystyle \mathbf {b} }$ как произведения длин этих векторов на косинус угла между ними (имеется в виду наименьший угол между векторами, не превосходящий ${\displaystyle \pi }$^[2]) (см. рисунок справа вверху)^[3]:

${\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\cos \theta .}$

Равносильное определение: скалярное произведение есть произведение длины проекции первого вектора на второй и длины второго вектора, или наоборот (см. рисунок справа вверху)^[4]:

${\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )={\text{пр}}_{b}\mathbf {a} \cdot |\mathbf {b} |=|\mathbf {a} |\cdot {\text{пр}}_{a}\mathbf {b} .}$

Если хотя бы один из векторов нулевой, то произведение считается равным нулю^[2][3].

У понятия скалярного произведения существует также большое количество обобщений для различных векторных пространств, то есть для множеств векторов с операциями сложения и умножения на скаляры. Данное выше геометрическое определение скалярного произведения предполагает предварительное определение понятий длины вектора и угла между ними. В современной математике используется обратный подход: аксиоматически определяется скалярное произведение, а уже через него — длины и углы^[5]. В частности, скалярное произведение определяется для комплексных векторов, многомерных и бесконечномерных пространств, в тензорной алгебре.

Скалярное произведение и его обобщения играют чрезвычайно большую роль в векторной алгебре, теории многообразий, механике и физике. Например, работа силы при механическом перемещении равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения^[6][7][8].

Определение и свойства

Будем говорить, что в вещественном или комплексном векторном пространстве ${\displaystyle L}$ определено скалярное произведение, если каждой паре векторов ${\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} }$ из ${\displaystyle L}$ поставлено в соответствие число ${\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}$ из того числового поля, над которым задано ${\displaystyle L,}$ удовлетворяющее следующим аксиомам.

1. Для любых трёх элементов ${\displaystyle \mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},\mathbf {b} }$ пространства ${\displaystyle \mathbb {L} }$ и любых чисел ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ справедливо равенство: ${\displaystyle (\alpha \mathbf {a} _{1}+\beta \mathbf {a} _{2},\mathbf {b} )=\alpha (\mathbf {a} _{1},\mathbf {b} )+\beta (\mathbf {a} _{2},\mathbf {b} )}$ (линейность скалярного произведения по первому аргументу).
2. Для любых ${\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} }$ справедливо равенство ${\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )={\overline {(\mathbf {b} ,\mathbf {a} )}}}$, где черта означает комплексное сопряжение.
3. Для любого ${\displaystyle \mathbf {a} }$ имеем: ${\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {a} )\geqslant 0}$, причём ${\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {a} )=0}$ только при ${\displaystyle \mathbf {a} =0}$ (положительная определённость и невырожденность скалярного произведения соответственно).

Заметим, что из аксиомы 2 следует, что ${\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {a} )}$ — вещественное число. Поэтому аксиома 3 имеет смысл, несмотря на комплексные (в общем случае) значения скалярного произведения. Если аксиома 3 не выполняется, то произведение называется индефинитным, или неопределённым.

Если ${\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {a} )=0}$ не только при ${\displaystyle \mathbf {a} =0}$, то произведение называется псевдоскалярным^{[9][10][3][11][12]}.

Из данных аксиом получаются следующие свойства:

• коммутативность для вещественных векторов^[4]:

${\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=(\mathbf {b} ,\mathbf {a} );}$

Дистрибутивность скалярного произведения в случае вещественного евклидового пространства

• дистрибутивность относительно сложения^[4]:

${\displaystyle (\mathbf {a} +\mathbf {b} ,\mathbf {c} )=(\mathbf {a} ,\mathbf {c} )+(\mathbf {b} ,\mathbf {c} )}$ и ${\displaystyle (\mathbf {c} ,\mathbf {a} +\mathbf {b} )=(\mathbf {c} ,\mathbf {a} )+(\mathbf {c} ,\mathbf {b} );}$

• инволюционная линейность относительно второго аргумента:

${\displaystyle (\mathbf {a} ,(\alpha _{1}\mathbf {b} _{1}+\alpha _{2}\mathbf {b} _{2}))={\overline {\alpha _{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} _{1})+{\overline {\alpha _{2}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} _{2})}$ (в случае вещественного ${\displaystyle L}$ — просто линейность по второму аргументу);

• ${\displaystyle (\alpha \mathbf {a} ,\beta \mathbf {b} )=\alpha {\overline {\beta }}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}$ (что совпадает с ${\displaystyle \alpha \beta (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}$ для вещественного ${\displaystyle L}$);
• ассоциативность по отношению умножения вектора на число для вещественных векторов^[4]:

${\displaystyle (\lambda \mathbf {a} ,\mathbf {b} )=\lambda (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=(\mathbf {a} ,\lambda \mathbf {b} ).}$

Также есть свойства, связанные не с данными аксиомами:

• неассоциативность относительно умножения на вектор^[13]:

${\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\mathbf {c} \neq \mathbf {a} (\mathbf {b} ,\mathbf {c} )}$;

• ортогональность: два ненулевых вектора a и b ортогональны тогда и только тогда, когда (a, b) = 0 (определения ниже).

Замечание. В квантовой физике скалярное произведение (волновых функций, которые комплекснозначны) принято определять как линейное по второму аргументу (а не по первому), соответственно, по первому аргументу оно будет инволюционо линейным. Путаницы обычно не возникает, поскольку традиционное обозначение для скалярного произведения в квантовой физике также отличается: ${\displaystyle \langle \phi |\psi \rangle }$, то есть аргументы отделяются вертикальной чертой, а не запятой, и скобки всегда угловые.

Определение и свойства в евклидовом пространстве

Вещественные векторы

В ${\displaystyle n}$-мерном вещественном евклидовом пространстве векторы определяются своими координатами — наборами ${\displaystyle n}$ вещественных чисел в ортонормированном базисе. Определить скалярное произведение векторов ${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},a_{2}\dots a_{n}),\mathbf {b} =(b_{1},b_{2}\dots b_{n})}$ можно так^[5]:

${\displaystyle \langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}+\dots +a_{n}b_{n}.}$

Проверка показывает, что все три аксиомы выполнены.

Например, скалярное произведение векторов ${\displaystyle (1,3,-5)}$ и ${\displaystyle (4,-2,-1)}$ будет вычислено так:

${\displaystyle {\begin{aligned}\ (1,3,-5)\cdot (4,-2,-1)&=1\cdot 4+3\cdot (-2)+(-5)\cdot (-1)\\&=4-6+5\\&=3.\end{aligned}}}$

Можно доказать^[14], что эта формула равносильна определению через проекции или через косинус: ${\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\cos \theta .}$

Комплексные векторы

Для комплексных векторов ${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},a_{2}\dots a_{n}),\mathbf {b} =(b_{1},b_{2}\dots b_{n})}$ определим аналогично^[15]:

${\displaystyle \langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle =\sum _{k=1}^{n}a_{k}{\overline {b_{k}}}=a_{1}{\overline {b_{1}}}+a_{2}{\overline {b_{2}}}+\cdots +a_{n}{\overline {b_{n}}}.}$

Пример (для ${\displaystyle n=2}$): ${\displaystyle (1+i,2)\cdot (2+i,i)=(1+i)\cdot ({\overline {2+i}})+2\cdot {\overline {i}}=(1+i)\cdot (2-i)+2\cdot (-i)=3-i.}$

Свойства

Помимо общих свойств скалярного произведения, для многомерных евклидовых векторов верно следующее:

1. в отличие от обычного умножения скаляров, где если ab = ac и a ≠ 0, то b равняется c, для скалярного умножения векторов это неверно: если a · b = a · c, то есть a · (b − c) = 0, то в общем случае a и b − c лишь ортогональны; но вектор b − c в общем случае не равен 0, то есть b ≠ c;
2. правило произведения: для дифференцируемых вектор-функций a(t) и b(t) верно соотношение (a(t), b(t))′ = a′(t) ⋅ b(t) + a(t) ⋅ b′(t)^[16];
3. оценка угла между векторами:

   в формуле ${\displaystyle (\mathbf {\mathbf {a} } ,\mathbf {b} )=|\mathbf {a} |\cdot |\mathbf {b} |\cdot \cos \angle {(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}}$ знак определяется только косинусом угла (нормы векторов всегда положительны). Поэтому скалярное произведение больше 0, если угол между векторами острый, и меньше 0, если угол между векторами тупой;

1. проекция вектора ${\displaystyle \mathbf {a} }$ на направление, определяемое единичным вектором ${\displaystyle \mathbf {e} }$:

   ${\displaystyle {\text{пр}}_{e}\mathbf {a} =(\mathbf {a} ,\mathbf {e} )=|\mathbf {a} ||\mathbf {e} |\cos \angle {(\mathbf {a} ,\mathbf {e} )}=|\mathbf {a} |\cos \angle {(\mathbf {a} ,\mathbf {e} )}}$, так как ${\displaystyle |\mathbf {e} |=1;}$

2. площадь параллелограмма, натянутого на два вектора ${\displaystyle \mathbf {a} }$ и ${\displaystyle \mathbf {b} }$, равна ${\displaystyle {\sqrt {(\mathbf {a} ,\mathbf {a} )(\mathbf {b} ,\mathbf {b} )-(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )^{2}}}.}$

Теорема косинусов в вещественном пространстве

Теорема косинусов легко выводится с использованием скалярного произведения. Пусть на сторонах треугольника находятся векторы a, b и c, первые два из которых образуют угол θ, как показано в изображении справа. Тогда, следуя свойствам и определению скалярного произведения через косинус:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\color {orange}c} \cdot \mathbf {\color {orange}c} &=(\mathbf {\color {red}a} -\mathbf {\color {blue}b} )\cdot (\mathbf {\color {red}a} -\mathbf {\color {blue}b} )\\&=\mathbf {\color {red}a} \cdot \mathbf {\color {red}a} -\mathbf {\color {red}a} \cdot \mathbf {\color {blue}b} -\mathbf {\color {blue}b} \cdot \mathbf {\color {red}a} +\mathbf {\color {blue}b} \cdot \mathbf {\color {blue}b} \\&=|\mathbf {\color {red}a} |^{2}-\mathbf {\color {red}a} \cdot \mathbf {\color {blue}b} -\mathbf {\color {red}a} \cdot \mathbf {\color {blue}b} +|\mathbf {\color {blue}b} |^{2}\\&=|\mathbf {\color {red}a} |^{2}-2\mathbf {\color {red}a} \cdot \mathbf {\color {blue}b} +|\mathbf {\color {blue}b} |^{2}\\&=|\mathbf {\color {red}a} |^{2}+|\mathbf {\color {blue}b} |^{2}-2|\mathbf {\color {red}a} |{\cdot }|\mathbf {\color {blue}b} |\cos \mathbf {\color {purple}\theta } .\\\end{aligned}}}$

Связанные определения

В современном аксиоматическом подходе уже на основе понятия скалярного произведения векторов вводятся следующие производные понятия^[17]:

Длина вектора, под которой обычно понимается его евклидова норма^[17]:

${\displaystyle |\mathbf {a} |={\sqrt {(\mathbf {a} ,\mathbf {a} )}}}$

(термин «длина» обычно применяется к конечномерным векторам, однако в случае вычисления длины криволинейного пути часто используется и в случае бесконечномерных пространств).

Углом ${\displaystyle \varphi }$ между двумя ненулевыми векторами евклидова пространства (в частности, евклидовой плоскости) называется число, косинус которого равен отношению скалярного произведения этих векторов к произведению их длин (норм)^[18]:

${\displaystyle \cos \varphi ={\frac {(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}{|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |}}\ (0\leqslant \varphi \leqslant \pi ).}$

Данные определения позволяют сохранить формулу: ${\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\cos(\varphi )}$ и в общем случае. Корректность формулы для косинуса гарантирует неравенство Коши — Буняковского^[19]:

Для любых элементов ${\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} }$ векторного пространства со скалярным произведением выполняется неравенство: ${\displaystyle \vert (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\vert ^{2}\leqslant (\mathbf {a} ,\mathbf {a} )(\mathbf {b} ,\mathbf {b} )}$

В случае, если пространство является псевдоевклидовым, понятие угла определяется лишь для векторов, не содержащих изотропных прямых внутри образованного векторами сектора. Сам угол при этом вводится как число, гиперболический косинус которого равен отношению модуля скалярного произведения этих векторов к произведению их длин (норм):

${\displaystyle |(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )|=|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\operatorname {ch} \varphi .}$

• Ортогональными (перпендикулярными) называются векторы, скалярное произведение которых равно нулю. Это определение применимо к любым пространствам с положительно определённым скалярным произведением. Например, ортогональные многочлены на самом деле ортогональны (в смысле этого определения) друг другу в некотором гильбертовом пространстве.
• Пространство (вещественное или комплексное) с положительно определённым скалярным произведением называется предгильбертовым пространством.
  • При этом конечномерное вещественное пространство с положительно определённым скалярным произведением называется также евклидовым, а комплексное — эрмитовым или унитарным пространством.
• Случай, когда скалярное произведение не является знакоопределённым, приводит к т. н. пространствам с индефинитной метрикой. Скалярное произведение в таких пространствах уже не порождает нормы (и она обычно вводится дополнительно). Конечномерное вещественное пространство с индефинитной метрикой называется псевдоевклидовым (важнейшим частным случаем такого пространства является пространство Минковского). Среди бесконечномерных пространств с индефинитной метрикой важную роль играют пространства Понтрягина и пространства Крейна.

История

Скалярное произведение было введено У. Гамильтоном в 1846 году^[20] одновременно с векторным произведением в связи с кватернионами — соответственно, как скалярная и векторная часть произведения двух кватернионов, скалярная часть которых равна нулю^[21].

Вариации и обобщения

В пространстве измеримых интегрируемых с квадратами на некоторой области Ω вещественных или комплексных функций можно ввести положительно определённое скалярное произведение:

${\displaystyle (\mathbf {f} ,\mathbf {g} )=\int \limits _{\Omega }f(x){\overline {g(x)}}d\Omega }$

При использовании неортонормированных базисов скалярное произведение выражается через компоненты векторов с участием метрического тензора^[22] ${\displaystyle g_{ij}}$:

${\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=g_{ij}a^{i}b^{j}}$

При этом сама метрика (говоря точнее, её представление в данном базисе) так связана со скалярными произведениями базисных векторов ${\displaystyle f_{i}\ }$:

${\displaystyle g_{ij}=(\mathbf {f} _{i},\mathbf {f} _{j})}$

Аналогичные конструкции скалярного произведения можно вводить и на бесконечномерных пространствах, например, на пространствах функций:

${\displaystyle (\mathbf {f} ,\mathbf {g} )=\int \limits _{(\Omega _{1}\times \Omega _{2})}K(x_{1},x_{2})f(x_{1})g(x_{2})d(\Omega _{1}\times \Omega _{2})}$

${\displaystyle (\mathbf {f} ,\mathbf {g} )=\int \limits _{\Omega }K(x)f(x)g(x)d\Omega }$

где К — положительно определённая, в первом случае симметричная относительно перестановки аргументов (при комплексных x — эрмитова) функция (если нужно иметь обычное симметричное положительно определённое скалярное произведение).

Простейшим обобщением конечномерного скалярного произведения в тензорной алгебре является свёртка по повторяющимся индексам.

См. также

• Гильбертово пространство
• Векторное произведение
• Внешнее произведение
• Псевдоскалярное произведение
• Смешанное произведение

Примечания

1. Коэн-Таннуджи К., Диу Б., Лалоэ Ф. Квантовая механика. Том I, 2000, Глава И. Математический аппарат квантовой механики. B. Пространство состояний. Обозначения Дирака. 2. Векторы «кет» и векторы «бра». Ь. Элементы в дуальном пространстве ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{*}}$: бра-вектры. ${\displaystyle \beta }$. Обозначение «бра» для векторов пространства ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{*}}$, с. 133.
2. Пытьев Ю. П. Векторная алгебра, 1977, с. 634.
3. Пытьев Ю. П. Векторная алгебра, 1988, с. 108.
4. Болтянский В. Г., Яглом И. М. Векторы и их применения в геометрии, 1963, § 4. Косое произведение векторов, с. 328.
5. Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре, 1971, § 2. Евклидово пространство. 1. Определение евклидова пространства, с. 30—31.
6. Лаптев Г. Ф. Элементы векторного исчисления, 1975, Глава III. Произведения двух векторов. § 1. Скалярное произведение двух векторов, с. 44.
7. Кочин Г. Ф. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, 1965, § 5. Скалярное… произведение…, с. 35.
8. Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике, 1977, § 104а. Физический смысл скалярного произведения, с. 161.
9. Иванов А. Б. Псевдоскалярное произведение, 1984.
10. Пытьев Ю. П. Векторная алгебра, 1977, с. 635.
11. Болтянский В. Г., Яглом И. М. Векторы и их применения в геометрии, 1963, § 4. Косое произведение векторов, с. 341.
12. Прасолов В. В. Задачи по планиметрии, 2006, Глава 13. Векторы. § 7. Псевдоскалярное произведение, с. 313.
13. Лаптев Г. Ф. Элементы векторного исчисления, 1975, Глава IV. Произведения трёх векторов. § 1. Простейшее произведение трёх векторов, с. 59.
14. Calculus II - Dot Product  (неопр.). tutorial.math.lamar.edu. Дата обращения: 9 мая 2021. Архивировано 9 мая 2021 года.
15. Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре, 1971, § 2. Евклидово пространство. 1. Определение евклидова пространства, с. 86.
16. Stewart, James (2016), Calculus (8 ed.), Cengage, Section 13.2.
17. Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре, 1971, § 2. Евклидово пространство. 2. Длина вектора. Угол между векторами, с. 33.
18. Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре, 1971, § 2. Евклидово пространство. 2. Длина вектора. Угол между векторами, с. 34.
19. § 9.5. Линейные пространства со скалярным произведением: евклидовы и унитарные
20. Crowe M. J. A History of Vector Analysis – The Evolution of the Idea of a Vectorial System. — Courier Dover Publications, 1994. — С. 32. — 270 с. — ISBN 0486679101. Архивировано 6 марта 2019 года.
21. Hamilton W. R. On Quaternions; or on a New System of Imaginaries in Algebra // Philosophical Magazine. 3rd Series. — London, 1846. — Т. 29. — С. 30.
22. Гельфанд, 1971, с. 240.

Источники

• Болтянский В. Г., Яглом И. М. Векторы и их применения в геометрии // Энциклопедия элементарной математики, книга четвёртая — геометрия / Гл. ред. П. С. Александров, А. И. Маркушевич, А. Я. Хинчин. Ред. книги 4: В. Г. Болтянский, И. М. Яглом. М.: Физматгиз, 1963. 568 с., ил. С. 291—381.
• Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. Изд-е 12-е, стереотип. М.: Наука, 1977. 871 с., ил.
• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. Изд. 4-е, доп. М.: Наука, 1971. 271 с., ил.
• Иванов А. Б. Псевдоскалярное произведение // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 4 Ок—Сло. М.: «Советская Энциклопедия», 1984. 1216 стб., ил. Стб. 743.
• Кочин Г. Ф. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. Изд-е 9-е. М.: Наука, 1965. 427 с., ил.
• Коэн-Таннуджи К., Диу Б.^[фр.], Лалоэ Ф.^[англ.] Квантовая механика. В 2 т. Том I / Перевод с французского Л. Н. Новикова. Екатеринбург: Издательство Уральского университета, 2000. 942 с., ил. ISBN 5-7525-1085-6 ISBN 5-7525-1131-3 (T. I) [Cohen-Tannoudji, Claude; Diu, Bernard; Laloë, Franck Quantum mechanics, Volume 1: Basic Concepts, Tools, and Applications. Paris: Hermann, 1973.]
• Лаптев Г. Ф. Элементы векторного исчисления. М.: Наука, 1975. 336 с., ил.
• Прасолов В. В. Задачи по планиметрии: Учебное пособие. 5-е изд., испр. и доп. М.: МЦНМО: ОАО «Московские учебники», 2006. 640 с.: ил. ISBN 5-94057-214-6.
• Пытьев Ю. П. Векторная алгебра // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 1 А—Г. М.: «Советская энциклопедия», 1977. 1152 стб., ил. Стб. 632—636.
• Пытьев Ю. П. Векторная алгебра // Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров; Ред. Кол.: С. И. Адян, Н. С. Бахвалов, В. И. Битюцков, А. П. Ершов, Л. Д. Кудрявцев, А. Л. Онищик, А. П. Юшкевич. М.: «Советская энциклопедия», 1988. 847 с., ил. С. 107—109.

Ссылки

• Емелин А. Скалярное произведение векторов  (неопр.). Дата обращения: 14 ноября 2019.