Параллелограмм

Параллелогра́мм (др.-греч. παραλληλόγραμμον ← παράλληλος — параллельный + γραμμή — линия) — четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых^[1]. Существуют другие варианты определения➤.

Параллелограмм

Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник (все углы прямые), ромб (все стороны равны) и квадрат (прямоугольник и ромб одновременно)^[1]. Параллелограмм, не являющийся прямоугольником или ромбом называют ромбоидом (при этом в литературе первой половины XX века термином «ромбоид» иногда именовался дельтоид).

Свойства

Противоположные стороны параллелограмма равны, а диагонали в точке пересечения делятся пополам.

Сумма углов у основания параллелограмма равна 180°

Противолежащие стороны параллелограмма и противолежащие углы параллелограмма — равны. Сумма углов, прилежащих к одной (любой) стороне, равна 180° (по свойству параллельных прямых).

Диагонали параллелограмма пересекаются, и точка пересечения делит их пополам. Точка пересечения диагоналей является центром симметрии параллелограмма. Параллелограмм диагональю делится на два равных треугольника. Средние линии параллелограмма пересекаются в точке пересечения его диагоналей. В этой точке две его диагонали и две его средние линии делятся пополам.

Стороны параллелограмма ${\displaystyle a,b}$ и опущенные на них высоты ${\displaystyle h_{a},h_{b}}$ соотносятся следующим образом:

${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {h_{b}}{h_{a}}}}$

Тождество параллелограмма: сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон:

${\displaystyle d_{1}^{2}+d_{2}^{2}=2(a^{2}+b^{2})}$,

где ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ — длины смежных сторон, а ${\displaystyle d_{1}}$ и ${\displaystyle d_{2}}$ — длины диагоналей. Тождество параллелограмма можно доказать, используя теорему косинусов на треугольниках, образовываемых диагоналями.

Аффинное преобразование всегда переводит параллелограмм в параллелограмм. Для любого параллелограмма существует аффинное преобразование, которое отображает его в квадрат.

Четырёхугольник, вершины которого совпадают с серединами сторон произвольного четырёхугольника, является параллелограммом, стороны которого параллельны диагоналям исходного четырёхугольника (вариньонов параллелограмм).

В параллелограмме отношение меньшей из смежных сторон к большей из этих сторон не меньше тангенса половины угла между диагоналями данного параллелограмма. И указанное отношение равно указанному тангенсу тогда и только тогда, когда этот параллелограмм — прямоугольник или ромб.

Угол между диагоналями произвольного параллелограмма (не тупой угол) содержит в своей внутренней области меньшую из смежных сторон данного параллелограмма.

Диагонали ${\displaystyle d_{1}\leqslant d_{2}}$ параллелограмма, отличного от ромба, выражаются через длины ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ его смежных сторон и угол ${\displaystyle \theta }$ между диагоналями данного параллелограмма, содержащий во внутренней области сторону ${\displaystyle b}$:

${\displaystyle d_{1}={\sqrt {\frac {{\bigl (}a\cos {\frac {\theta }{2}}{\bigr )}^{2}-{\bigl (}b\sin {\frac {\theta }{2}}{\bigr )}^{2}}{\cos \theta }}}-{\sqrt {\frac {{\bigl (}b\cos {\frac {\theta }{2}}{\bigr )}^{2}-{\bigl (}a\sin {\frac {\theta }{2}}{\bigr )}^{2}}{\cos \theta }}}=}$

${\displaystyle ={\sqrt {a^{2}+b^{2}-{\sqrt {(2ab)^{2}-{\bigl (}(a^{2}-b^{2})\tan \theta {\bigr )}^{2}}}}}}$;

${\displaystyle d_{2}={\sqrt {\frac {{\bigl (}a\cos {\frac {\theta }{2}}{\bigr )}^{2}-{\bigl (}b\sin {\frac {\theta }{2}}{\bigr )}^{2}}{\cos \theta }}}+{\sqrt {\frac {{\bigl (}b\cos {\frac {\theta }{2}}{\bigr )}^{2}-{\bigl (}a\sin {\frac {\theta }{2}}{\bigr )}^{2}}{\cos \theta }}}=}$

${\displaystyle ={\sqrt {a^{2}+b^{2}+{\sqrt {(2ab)^{2}-{\bigl (}(a^{2}-b^{2})\tan \theta {\bigr )}^{2}}}}}}$.

Угол ${\displaystyle \theta }$ между диагоналями произвольного параллелограмма (не тупой угол) может являться любым одним из положительных решений неравенства

${\displaystyle \theta \leqslant \arccos {\frac {|k^{2}-1|}{k^{2}+1}}}$,

где ${\displaystyle k}$ — везде одно и то же отношение смежных сторон параллелограмма. Равенство здесь достигается тогда и только тогда, когда данный параллелограмм — прямоугольник (если при этом ${\displaystyle k\neq 1}$) или ромб (если ${\displaystyle k=1}$).

Высоты ${\displaystyle h_{a}}$ и ${\displaystyle h_{b}}$, проведённые соответственно к сторонам ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ параллелограмма, который отличен от ромба и угол между диагоналями которого равен ${\displaystyle \theta }$, могут быть найдены по формулам

${\displaystyle h_{a}={\frac {|a^{2}-b^{2}|\tan \theta }{2a}}}$;

${\displaystyle h_{b}={\frac {|a^{2}-b^{2}|\tan \theta }{2b}}}$.

Здесь ${\displaystyle \theta }$ — угол, во внутренней области которого расположена меньшая из смежных сторон ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ такого параллелограмма.

Угол ${\displaystyle \alpha }$ (не тупой) между смежными сторонами параллелограмма, отличного от ромба, выражается через длины смежных сторон ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ и угол ${\displaystyle \theta }$ (острый) между диагоналями данного параллелограмма как

${\displaystyle \alpha =\arcsin {\frac {|a^{2}-b^{2}|\tan \theta }{2ab}}}$.

Угол ${\displaystyle \theta }$ (острый) между диагоналями параллелограмма, отличного от ромба, выражается через длины смежных сторон ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ и угол ${\displaystyle \alpha }$ между ними по формуле:

${\displaystyle \theta =\arctan {\frac {2ab\sin \alpha }{|a^{2}-b^{2}|}}=\arctan {\frac {2S}{|a^{2}-b^{2}|}}}$,

где ${\displaystyle S}$ — площадь данного параллелограмма.

И ещё, если ${\displaystyle d_{1}}$ и ${\displaystyle d_{2}}$ — диагонали данного параллелограмма, а ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ — смежные его стороны, то угол ${\displaystyle \theta }$ между диагоналями этого параллелограмма, содержащий во внутренней области сторону ${\displaystyle b}$, можно найти как

${\displaystyle \theta =\arccos {\frac {a^{2}-b^{2}}{d_{1}d_{2}}}}$.

Признаки параллелограмма

Четырёхугольник ${\displaystyle \square ABCD}$ является параллелограммом, если выполняется одно из следующих условий (в этом случае выполняются и все остальные):

• у четырёхугольника без самопересечений две противоположные стороны одновременно равны и параллельны: ${\displaystyle AB=CD}$ и ${\displaystyle AB\parallel CD}$;
• все противоположные углы попарно равны: ${\displaystyle \angle A=\angle C}$ и ${\displaystyle \angle B=\angle D}$;
• у четырёхугольника без самопересечений все противоположные стороны попарно равны: ${\displaystyle AB=CD}$ и ${\displaystyle BC=DA}$;
• все противоположные стороны попарно параллельны: ${\displaystyle AB\parallel CD}$ и ${\displaystyle BC\parallel DA}$;
• диагонали делятся в точке их пересечения пополам: ${\displaystyle AO=OC}$ и ${\displaystyle BO=OD}$, где ${\displaystyle O}$ — точка пересечения диагоналей;
• сумма расстояний между серединами противоположных сторон выпуклого четырёхугольника равна его полупериметру;
• сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон выпуклого четырёхугольника: ${\displaystyle AC^{2}+BD^{2}=AB^{2}+BC^{2}+CD^{2}+DA^{2}}$.

Площадь параллелограмма

Площадь параллелограмма, выражение через высоту

Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту: ${\displaystyle S=bh}$, где ${\displaystyle b}$ — сторона, ${\displaystyle h}$ — высота, проведённая к этой стороне. Также площадь параллелограмма может быть вычислена как произведение длин его смежных сторон ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ и синуса угла ${\displaystyle \alpha }$ между ними: ${\displaystyle S=ab\sin \alpha }$.

Ещё один способ определения площади параллелограмма — через длины смежных сторон ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ и длину любой из диагоналей ${\displaystyle d}$ по формуле Герона как сумма площадей двух равных примыкающих треугольников^[2]:

${\displaystyle S=2\cdot {\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-d)}}}$,

где ${\displaystyle p=(a+b+d)/2}$.

И ещё, если параллелограмм отличен от ромба, — через длины смежных сторон ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ и угол ${\displaystyle \theta }$ между диагоналями параллелограмма:

${\displaystyle S={\frac {|a^{2}-b^{2}|\tan \theta }{2}}}$.

Здесь ${\displaystyle \theta }$ — угол, во внутренней области которого расположена меньшая из смежных сторон этого параллелограмма.

И можно найти площадь параллелограмма через длины ${\displaystyle d_{1}}$ и ${\displaystyle d_{2}}$ его диагоналей и длины его смежных сторон: ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$:

${\displaystyle S={\frac {\sqrt {(d_{1}d_{2})^{2}-(a^{2}-b^{2})^{2}}}{2}}}$.

Примечания

1. Справочник по элементарной математике, 2006, с. 332—333.
2. Геометрия, 8 класс. Урок 14. Формула Герона  (неопр.). Дата обращения: 26 октября 2023. Архивировано 3 апреля 2022 года.

Литература

• Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: АСТ, 2006. — 509 с. — ISBN 5-17-009554-6.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Parallelogram (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.