Репьюниты

Репью́ниты (англ. repunit, от repeated unit — повторённая единица)^[1] — натуральные числа ${\displaystyle R(b,n)}$, запись которых в системе счисления с основанием ${\displaystyle b>1}$ состоит из одних единиц. В десятичной системе счисления репьюниты обозначаются ${\displaystyle R_{n}}$: ${\displaystyle R_{1}=1}$, ${\displaystyle R_{2}=11}$, ${\displaystyle R_{3}=111}$ и т. д., и общий вид для них:

${\displaystyle R_{n}={\frac {10^{n}-1}{9}},\quad n=1,2,3,\ldots }$

Репьюниты являются частным случаем репдигитов.

Факторизация десятичных репьюнитов

(Простые числа в факторизациях, окрашенные в коричневый цвет, означают, что это новые простые числа в факторизациях R_n, которые не делят R_k для всех k < n^[2])

R1 = 1 R2 = 11 R3 = 3 · 37 R4 = 11 · 101 R5 = 41 · 271 R6 = 3 · 7 · 11 · 13 · 37 R7 = 239 · 4649 R8 = 11 · 73 · 101 · 137 R9 = 32 · 37 · 333667 R10 = 11 · 41 · 271 · 9091

R11 = 21649 · 513239 R12 = 3 · 7 · 11 · 13 · 37 · 101 · 9901 R13 = 53 · 79 · 265371653 R14 = 11 · 239 · 4649 · 909091 R15 = 3 · 31 · 37 · 41 · 271 · 2906161 R16 = 11 · 17 · 73 · 101 · 137 · 5882353 R17 = 2071723 · 5363222357 R18 = 32 · 7 · 11 · 13 · 19 · 37 · 52579 · 333667 R19 = 1111111111111111111 R20 = 11 · 41 · 101 · 271 · 3541 · 9091 · 27961

R21 = 3 · 37 · 43 · 239 · 1933 · 4649 · 10838689 R22 = 112 · 23 · 4093 · 8779 · 21649 · 513239 R23 = 11111111111111111111111 R24 = 3 · 7 · 11 · 13 · 37 · 73 · 101 · 137 · 9901 · 99990001 R25 = 41 · 271 · 21401 · 25601 · 182521213001 R26 = 11 · 53 · 79 · 859 · 265371653 · 1058313049 R27 = 33 · 37 · 757 · 333667 · 440334654777631 R28 = 11 · 29 · 101 · 239 · 281 · 4649 · 909091 · 121499449 R29 = 3191 · 16763 · 43037 · 62003 · 77843839397 R30 = 3 · 7 · 11 · 13 · 31 · 37 · 41 · 211 · 241 · 271 · 2161 · 9091 · 2906161

R31 = 2791 · 6943319 · 57336415063790604359 R32 = 11 · 17 · 73 · 101 · 137 · 353 · 449 · 641 · 1409 · 69857 · 5882353 R33 = 3 · 37 · 67 · 21649 · 513239 · 1344628210313298373 R34 = 11 · 103 · 4013 · 2071723 · 5363222357 · 21993833369 R35 = 41 · 71 · 239 · 271 · 4649 · 123551 · 102598800232111471 R36 = 32 · 7 · 11 · 13 · 19 · 37 · 101 · 9901 · 52579 · 333667 · 999999000001 R37 = 2028119 · 247629013 · 2212394296770203368013 R38 = 11 · 909090909090909091 · 1111111111111111111 R39 = 3 · 37 · 53 · 79 · 265371653 · 900900900900990990990991 R40 = 11 · 41 · 73 · 101 · 137 · 271 · 3541 · 9091 · 27961 · 1676321 · 5964848081

Свойства

• На 2022 год известно только 11 простых репьюнитов ${\displaystyle R_{n}}$ для n, равных^[3]:

2, 19, 23, 317, 1031, 49 081, 86 453, 109 297, 270 343, 5 794 777, 8 177 207 (последовательность A004023 в OEIS)

Очевидно, что индексы простых репьюнитов также являются простыми числами.

• В результате умножения ${\displaystyle R_{i}\cdot R_{j}}$ при ${\displaystyle 9\geq i\geq j}$ получается палиндромическое число вида ${\displaystyle (12\ldots j\ldots 21)}$ из ${\displaystyle i+j-1}$ цифр с цифрой ${\displaystyle j}$ посередине.
• Репьюнит 11 111 111 111 111 111 111 является самопорождённым числом.
• Всякое положительное кратное репьюнита ${\displaystyle R_{n}}$ содержит не менее n ненулевых цифр.
• Репьюнит как сумма последовательных квадратов. Число 1111 можно представить в виде суммы квадратов нескольких последовательных натуральных чисел: ${\displaystyle 1111=\sum \limits _{n=11}^{16}n^{2}}$. Очевидно, что единица также удовлетворяет данному условию. Других таких репьюнитов нет вплоть до длины 251 включительно.

В культуре

В честь репьюнитов назван астероид (11111) Репьюнит, порядковый номер которого — ${\displaystyle R_{5}}$.