Растяжение (математика)

Растяжение плоскости относительно оси ${\displaystyle l}$ с коэффициентом ${\displaystyle k}$ — преобразование плоскости, при котором каждая точка ${\displaystyle M\,\!}$ переходит в такую точку ${\displaystyle M',\,\!}$ что расстояние от прямой ${\displaystyle l\,\!}$ до ${\displaystyle M'\,\!}$ в ${\displaystyle k\,\!}$ раз больше, чем до точки ${\displaystyle M\,\!}$, и проекции точек ${\displaystyle M\,\!}$ и ${\displaystyle M'\,\!}$ на прямую ${\displaystyle l\,\!}$ совпадают.

Растяжение относительно прямой ${\displaystyle L\,\!}$ с коэффициентом ${\displaystyle k=1/2\,\!}$

Свойства

• Является аффинным преобразованием.
• Не является движением, так как не сохраняет расстояния между точками, не лежащими на прямой ${\displaystyle l\,\!}$.
• Если коэффициент ${\displaystyle k\,\!}$ положительный, то точки ${\displaystyle M\,\!}$ и ${\displaystyle M'\,\!}$ лежат по одну сторону от прямой ${\displaystyle l\,\!}$, если отрицательный — то по разные.
• Для любого треугольника существуют два растяжения, переводящие его в равнобедренный прямоугольный треугольник, причём первое из них переводит треугольник в прямоугольный.

Вариации и обобщения

• Растяжение с положительным коэффициентом ${\displaystyle k\,\!}$ меньше 1 иногда называют сжатием в ${\displaystyle {\tfrac {1}{k}}>1}$ раз.

См. также

• Аффинное преобразование
• Непрерывное отображение

Ссылки

• https://ru.wikibooks.org/wiki/Аффинные_преобразования
• https://www.mccme.ru/free-books/prasolov/planim/