Дизъюнктное объединение

Дизъюнктное объединение (также несвязное объединение или несвязная сумма) — это измененная операция объединения множеств в теории множеств, которая, неформально говоря, заключается в объединении непересекающихся «копий» множеств. В частности дизъюнктное объединение двух конечных множеств, состоящих из ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ элементов, будет содержать ровно ${\displaystyle a+b}$ элементов, даже если сами множества пересекаются.

Дизъюнктное объединение множеств ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ — это другое множество ${\displaystyle A\sqcup B}$, которое состоит из всех элементов множеств ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$, помеченных (проиндексированных) именем множества, из которого они происходят. Таким образом, элемент, принадлежащий как A, так и B, появляется дважды в несвязном объединении с двумя разными метками.

Определение

Пусть ${\displaystyle \{A_{i}|i\in I\}}$ — семейство множеств, перечисленных индексами из ${\displaystyle I}$. Тогда дизъюнктное объединение этого семейства есть множество

${\displaystyle \bigsqcup _{i\in I}A_{i}=\bigcup _{i\in I}\{(x,i)|x\in A_{i}\}}$

Элементы дизъюнктного объединения являются упорядоченными парами ${\displaystyle (x,i)}$. Таким образом ${\displaystyle i}$ есть индекс, показывающий, из какого множества ${\displaystyle A_{i}}$ элемент вошёл в объединение. Каждое из множеств ${\displaystyle A_{i}}$ канонически вложено в дизъюнктное объединение как множество

${\displaystyle A_{i}^{*}=\{(x,i)|x\in A_{i}\}.}$

При ${\displaystyle \forall i,j\in I:i\neq j}$ множества ${\displaystyle A_{i}^{*}}$ и ${\displaystyle A_{j}^{*}}$ не имеют общих элементов, даже если ${\displaystyle A_{i}\cap A_{j}\neq \varnothing }$. В вырожденном случае, когда множества ${\displaystyle A_{i}\forall i\in I}$ равны какому-то конкретному ${\displaystyle A}$, дизъюнктное объединение есть декартово произведение множества ${\displaystyle A}$ и множества ${\displaystyle I}$, то есть

${\displaystyle \bigsqcup _{i\in I}A_{i}=A\times I.}$

Использование

Иногда можно встретить обозначение ${\displaystyle A+B}$ для дизъюнктного объединения двух множеств или следующее для семейства множеств:

${\displaystyle \sum _{i\in I}A_{i}.}$

Такая запись подразумевает, что мощность дизъюнктного объединения равна сумме мощностей множеств семейства. Для сравнения, декартово произведение имеет мощность, равную произведению мощностей.

В категории множеств дизъюнктным объединением является прямая сумма. Термин дизъюнктное объединение также используется в отношении объединения семейства попарно непересекающихся множеств. В этом случае дизъюнктное объединение обозначается, как обычное объединение множеств, совпадая с ним. Такое обозначение часто встречается в информатике. Более формально, если ${\displaystyle C}$ — это семейство множеств, то

${\displaystyle \bigcup _{A\in C}A}$

есть дизъюнктное объединение в рассмотренном выше смысле тогда и только тогда, когда при любых ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ из ${\displaystyle C}$ выполняется следующее условие:

${\displaystyle A\neq B\implies A\cap B=\varnothing .}$

Вариации и обобщения

• Если все множества дизъюнктного объединения наделены топологией, то само дизъюнктное объединение топологических пространств (то есть множеств наделённых топологией) имеет естественную топологию — самую сильную топологию такую, что каждое включение является непрерывным отображением. Дизъюнктное объединение с этой топологией называется несвязным объединением топологических пространств.

См. также

• Теория множеств
• Теория категорий
• Декартово произведение
• Мощность множества

Литература

• Александрян Р. А., Мирзаханян Э. А. Общая топология. — М.: Высшая школа, 1979. — С. 132.
• Спеньер Э. Алгебраическая топология. — М.: Мир, 1971. — С. 9.
• Мельников О. В. и др. Общая алгебра: В 2 т. Т. 1. — М.: Наука, 1990. — С. 13. — ISBN 5020144266.