Потенциальный оператор

Потенциальный оператор — математический оператор, отображающий открытое множество вещественного нормированного пространства в сопряжённое пространство и являющийся градиентом некоторого функционала с областью значений в сопряжённом пространстве.

Обозначим $E$ — вещественное нормированное пространство, $E^{*}$ — сопряжённое к нему пространство, $A$ — открытое множество из $E$ . Оператор $F:A\rightarrow E^{*}$ называется потенциальным, если для всякого $x\in A$ существует такой функционал $f(x)\in E^{*}$ , что $F(x)=gradf(x)$ . Функционал $f(x)$ называется потенциалом оператора $F$ ^[1].

Пусть оператор $F:E\rightarrow E^{*}$ дифференцируем по Гато в каждой точке выпуклого открытого множества $\omega \subset E$ . Тогда если дифференциал $DF(x,h)$ непрерывен по $x$ в каждой точке из $\omega$ , то для потенциальности $F$ в $\omega$ необходимо и достаточно, чтобы $F$ был симметрическим в $\omega$ ^[2].

Оператор $F:E\rightarrow E^{*}$ называется симметрическим в точке $x_{0}$ , если он имеет дифференциал Гато в некоторой окрестности точки $x_{0}$ и для любых $h_{1},h_{2}\in E$ выполняется равенство $\langle DF(x_{0},h_{1})h_{2}\rangle =\langle DF(x_{0},h_{2})h_{1}\rangle$ .

Оператор Немыцкого задаётся формулой $hu=g(u(x),x)$ , где $g(u,x)$ — вещественная функция, непрерывная по $u\in [-\infty ,+\infty ]$ при почти каждом фиксированном $x\in B$ и измерима как функция $x$ при всяком фиксированном $u$ и выполнено неравенство $|g(u,x)|\leqslant a(x)+b|u|^{p-1}$ , где $p>1$ , $a(x)\in L^{p}(B)$ , $B$ — измеримое множество конечной или бесконечной лебеговой меры, принадлежащее $s$ -мерному евклидову пространству^[1].

Оператор Немыцкого является непрерывным потенциальным оператором. Он действует из пространства Лебега $L^{p}(B)$ в пространство Лебега $L^{q}(B)$ , где $p^{-1}+q^{-1}=1$ и его потенциал $f$ определяется формулой $f(u)=f_{0}+\int _{B}dx\int _{0}^{u(x)}g(v,x)dv$ , где $f_{0}$ — произвольное число.