Ограниченность

Ограниченность в математике — свойство множеств, указывающее на конечность размера в контексте, определяемом категорией пространства.

Исходное понятие — ограниченное числовое множество, таковым является множество вещественных чисел ${\displaystyle B\subset \mathbb {R} }$, для которого существуют числа ${\displaystyle m,M\in \mathbb {R} }$ такие, что для любого ${\displaystyle x}$ из ${\displaystyle B}$ имеет место: ${\displaystyle m\leqslant x\leqslant M}$, иными словами, ${\displaystyle B}$ целиком лежит в отрезке ${\displaystyle [m,M]}$. Числа ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle M}$ называются в этом случае нижней и верхней границей множества ${\displaystyle X}$ соответственно. Если существует только нижняя или верхняя граница, то говорят об ограниченном снизу или ограниченном сверху множестве соответственно.

Ограниченное сверху числовое множество обладает точной верхней гранью, ограниченное снизу — точной нижней гранью (теорема о гранях). Конечное множество точек, интервал числовой оси ${\displaystyle [a,b]}$ (где ${\displaystyle a,b}$ — конечные числа), конечное объединение ограниченных множеств — ограниченные множества; множество целых чисел ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ — неограниченно; множество ${\displaystyle \mathbb {N} }$ натуральных чисел с точки зрения системы вещественных чисел — ограниченно снизу и неограниченно сверху.

Ограниченная числовая функция — функция ${\displaystyle f\colon D\to \mathbb {R} }$, область значений которой ${\displaystyle f(D)}$ ограниченна, то есть существует такое ${\displaystyle m}$, что для всех ${\displaystyle x}$ имеет место неравенство ${\displaystyle |f(x)|\leqslant m}$. В частности, ограниченная числовая последовательность — последовательность ${\displaystyle (a_{i})}$, для которой существует ${\displaystyle m\in \mathbb {R} }$ такое, что для всех ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$ выполнено ${\displaystyle |a_{i}|\leqslant m}$.

Обобщения

Обобщения числовой ограниченности на более общие категории пространств могут различаться. Так, на подмножества произвольных частично упорядоченных множествах числовое определение переносится естественным образом (поскольку для определения требуется только отношение порядка).

В топологическом векторном пространстве ${\displaystyle E}$ над полем ${\displaystyle k}$ ограниченным считается всякое множество ${\displaystyle B}$, поглощаемое любой окрестностью нуля, то есть если существует такое ${\displaystyle \alpha \in k}$, что ${\displaystyle B\subset \alpha U_{0}}$. Ограниченный оператор на топологических векторных пространствах переводит ограниченные множества в ограниченные.

В случае произвольного метрического пространства ${\displaystyle (M,d)}$ ограниченными считаются множества конечного диаметра, то есть ${\displaystyle B\subseteq M}$ ограниченно, если ${\displaystyle \mathrm {sup} \{d(x,y)\mid {x,y\in B}\}}$ конечно. При этом ввести понятия ограниченности сверху и снизу в общих метрических пространствах невозможно.

Более специальное понятие, распространяющееся на произвольные метрические пространства — вполне ограниченность; в случае числовых множеств и в евклидовых пространствах это понятие совпадает с соответствующими понятиями ограниченного множества. В метрических пространствах топологическая компактность эквивалентна одновременной вполне ограниченности и полноте, и, хотя на произвольные топологические пространства понятие ограниченности не распространяется, компактность в общем случае можно считать некоторым аналогом ограниченности.

Литература

• Ограниченное множество — статья из Математической энциклопедии. М. И. Войцеховский