Обобщённый потенциал

Обобщённый потенциал — понятие классической механики, применяемое для удобного вычисления обобщённых сил, зависящих от обобщённых скоростей^[1].

Формулировка

Рассмотрим механическую систему с ${\displaystyle s}$ степенями свободы, с кинетической энергией ${\displaystyle T}$ и обобщёнными силами ${\displaystyle Q_{m}}$. Здесь всюду ${\displaystyle m=1,2,...,s}$. Рассмотрим выражение для потенциальной энергии в виде функции ${\displaystyle V=V(q_{1},q_{2},...,q_{s},{\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},...,{\dot {q}}_{s},t)}$. Потребуем, чтобы уравнения Лагранжа

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{m}}}\right)-{\frac {\partial T}{\partial q_{m}}}=Q_{m}}$,

имели вид

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{m}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial q_{m}}}=0}$, где ${\displaystyle L=T-V}$, ${\displaystyle V}$ - обобщённый потенциал.

Обобщённым потенциалом называется функция ${\displaystyle V}$, удовлетворяющая уравнению

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial V}{\partial {\dot {q}}_{m}}}\right)-{\frac {\partial V}{\partial q_{m}}}=Q_{m}}$,

Найдём зависимость функции ${\displaystyle V}$ от обобщённых скоростей.

${\displaystyle Q_{m}={\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial V}{\partial {\dot {q}}_{m}}}\right)-{\frac {\partial V}{\partial q_{m}}}=\sum _{\mu =1}^{s}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial {\dot {q}}_{m}\partial {\dot {q}}_{\mu }}}{\ddot {q}}_{\mu }+\sum _{\mu =1}^{s}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial {\dot {q}}_{m}\partial q_{\mu }}}{\dot {q}}_{\mu }+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial {\dot {q}}_{m}\partial t}}-{\frac {\partial V}{\partial q_{m}}}}$

Так как обобщённые силы явно от обобщённых ускорений не зависят, то обобщённый потенциал может быть только линейной функцией от обобщённых скоростей:

${\displaystyle V=\Pi (q_{m},t)+\sum _{\mu =1}^{s}\Pi _{\mu }(q_{m},t){\dot {q}}_{\mu }}$

Далее:

${\displaystyle Q_{m}={\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial V}{\partial {\dot {q}}_{m}}}\right)-{\frac {\partial V}{\partial q_{m}}}={\frac {d\Pi _{m}}{dt}}-{\frac {\partial }{\partial q_{m}}}\left[\sum _{\mu =1}^{s}\Pi _{\mu }{\dot {q}}_{\mu }+\Pi \right]=\sum _{\mu =1}^{s}{\frac {\partial \Pi _{m}}{\partial q_{\mu }}}{\dot {q}}_{\mu }+{\frac {\partial \Pi _{m}}{\partial t}}-\sum _{\mu =1}^{s}{\frac {\partial \Pi _{\mu }}{\partial q_{m}}}{\dot {q}}_{\mu }-{\frac {\partial \Pi }{\partial q_{m}}}=-{\frac {\partial \Pi }{\partial q_{m}}}+\sum _{\mu =1}^{s}\left({\frac {\partial \Pi _{m}}{\partial q_{\mu }}}-{\frac {\partial \Pi _{\mu }}{\partial q_{m}}}\right)+{\frac {\partial \Pi _{m}}{\partial t}}}$.

Таким образом:

${\displaystyle Q_{m}=-{\frac {\partial \Pi }{\partial q_{m}}}+\sum _{\mu =1}^{s}\gamma _{m\mu }{\dot {q}}_{\mu }+{\frac {\partial \Pi _{m}}{\partial t}}}$, где ${\displaystyle \gamma _{m\mu }={\frac {\partial \Pi _{m}}{\partial q_{\mu }}}-{\frac {\partial \Pi _{\mu }}{\partial q_{m}}}}$

В случае, если функции ${\displaystyle \Pi _{m}}$ не зависят явно от времени, то обобщённые силы складываются из потенциальных сил ${\displaystyle -{\frac {\partial \Pi }{\partial q_{m}}}}$ и гироскопических сил ${\displaystyle \sum _{\mu =1}^{s}\gamma _{m\mu }{\dot {q}}_{\mu }}$.^[2]

Пример

Рассмотрим силу Лоренца, действующую на точечный электрический заряд в электромагнитном поле: ${\displaystyle F=e\left[E+{\frac {v}{c}}\times B\right]}$, где ${\displaystyle e}$ - электрический заряд, ${\displaystyle v}$ - скорость заряда, ${\displaystyle E}$ - напряжённость электрического поля, ${\displaystyle B}$ - индукция магнитного поля, ${\displaystyle c}$ - скорость света. Обобщённый потенциал для силы Лоренца можно ввести формулой: ${\displaystyle V=e\phi -{\frac {e}{c}}vA=e\phi -{\frac {e}{c}}\left({\dot {x}}A_{x}+{\dot {y}}A_{y}+{\dot {z}}A_{z}\right)}$, где ${\displaystyle \phi }$ - скалярный потенциал, ${\displaystyle A}$ - векторный потенциал ^[3][4]

Примечания

1. Бутенин, 1971, с. 115.
2. Бутенин, 1971, с. 117.
3. Бутенин, 1971, с. 118.
4. Л. Д. Ландау Е. М. Лившиц Теория поля, Физматгиз, 1962

Литература

• Бутенин Н.В. Введение в аналитическую механику. — М.: Наука, 1971. — 264 с.